Πολυώνυμο

#1

Αν ρ είναι μία ρίζα του πολυωνύμου $P(x)=x^3+kx^2+lx+m,\,\,\,k,l,m\in \mathbb {R}$

Να δείξετε ότι : $|p|-1 \leq |k|+|l|+|m|$

Α.Κυριακόπουλος · #2

φωτεινή έγραψε:Αν ρ είναι μία ρίζα του πολυωνύμου $P(x)=x^3+kx^2+lx+m,\,\,\,k,l,m\in \mathbb {R}$

Να δείξετε ότι : $|p|-1 \leq |k|+|l|+|m|$

Φωτεινή, θέλεις να την γενικεύσουμε; ( η λύση είναι ακριβώς η ίδια). Λοιπόν:
«Να αποδείξετε ότι, αν ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου:
$f(x) = {x^\nu } + {\alpha _{\nu - 1}}{x^{\nu - 1}} + ... + {\alpha _1}x + {\alpha _0}$ , όπου ν φυσικός θετικός αριθμός, τότε:
$|\rho | < 1 + |{\alpha _{\nu - 1}}| + ... + |{\alpha _1}| + |{\alpha _0}|$ ».
( Από το βιβλίο: Α. Κ. Κυριακόπουλου «ΥΠΟΨΗΦΙΑΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΒΡΑΣ», σελίδα 66, άσκηση 208).

#3

Γράφω αμέσως την απόδειξη για τη γενικευμένη άσκηση μια και η αντιμετώπιση (όπως λέει και ο κος Κυριακόπουλος) είναι η ίδια.

Καταρχήν το αποτέλεσμα είναι φανερό αν για τη ρίζα $\rho$ ισχύει $|\rho|<1$ .

Ας υποθέσουμε λοιπόν παρακάτω ότι $|\rho| \geq 1 \ \ (1)$ .

Αφού λοιπόν το $\rho$ είναι ρίζα του πολυωνύμου άρα

$\displaystyle{\rho^{\nu}=-a_{\nu-1}\rho^{\nu-1} - a_{\nu-2}\rho^{\nu-2}-\cdots -a_{1}\rho-a_0}$ άρα διαιρώντας με $\rho^{\nu-1}$ και κάνοντας χρήση της τριγωνικής ανισότητας καταλήγουμε στην

$\begin{aligned} \displaystyle{|\rho| &\leq |a_{\nu-1}| + |a_{\nu-2}|\left|\frac{1}{\rho}\right| + \cdots +\left|a_{1}\right|\left|\frac{1}{\rho^{\nu-2}}\right| + |a_0|\left|\frac{1}{\rho^{\nu-1}}\right|} \\ &\stackrel{(1)}{\leq} |a_{\nu-1}| + |a_{\nu-2}| + \cdots +|a_{1}|+|a_0| \end{aligned}$

που είναι κάτι ισχυρότερο από το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

#4

ευχαριστώ

τον κύριο Αντώνη για τη γενίκευση και τον Αλέξανδρο για την απόδειξη

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση