Εκθετική-Λογαριθμική 3

Γιώργος Κ77 · #1

Να λυθεί στο διάστημα $(-\pi ,\pi ]$ η εξίσωση $\log _{\pi }\sigma \upsilon \nu x=x^{2}$ .

#2

Γιώργος Κ77 έγραψε:Να λυθεί στο διάστημα $(-\pi ,\pi ]$ η εξίσωση $\log _{\pi }\sigma \upsilon \nu x=x^{2}$ .

Πρέπει $\displaystyle{\cos x >0}$ οπότε $\displaystyle{x\in \Big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big).}$

Επίσης παρατηρούμε ότι αν $\displaystyle{x}$ είναι ρίζα, το ίδιο ισχύει και για την $\displaystyle{-x.}$

Άρα περιοριζόμαστε στο διάστημα $\displaystyle{\Big[0,\frac{\pi}{2}\Big)}$ .

Σε αυτό η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle{\cos x=\pi ^{x^2}}$ .
Αν $\displaystyle{x}$ ρίζα της εξίσωσης είναι

$\displaystyle{1\geq \cos x=\pi ^{x^2}\geq \pi ^0=1.}$

Άρα $\displaystyle{x=0,}$ η οποία ικανοποιεί την αρχική.

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Γιώργος Κ77 έγραψε:Να λυθεί στο διάστημα $(-\pi ,\pi ]$ η εξίσωση $\log _{\pi }\sigma \upsilon \nu x=x^{2}$ .

Μετά την εξαιρετική λύση του Θάνου, μία άλλη προσπάθεια:

Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το $\displaystyle{\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}$

$\displaystyle{0< \sigma \upsilon \nu x\leq 1\Rightarrow log_{\pi }\sigma \upsilon \nu x\leq log_{\pi }1\Rightarrow log_{\pi }\sigma \upsilon \nu x\leq 0} (1)$

Αν ρ είναι μία ρίζα της εξίσωσης, τότε: $\displaystyle{log_{\pi }\sigma \upsilon \nu p=p^{2}}$

Από (1): $\displaystyle{p^{2}\leq 0\Rightarrow p=0}$

Το 0 επαληθεύει την αρχική, άρα $\displaystyle{x=0}$

Φιλικά Χρήστος

Εκθετική-Λογαριθμική 3

Εκθετική-Λογαριθμική 3

Re: Εκθετική-Λογαριθμική 3

Re: Εκθετική-Λογαριθμική 3

Μέλη σε σύνδεση