Εξίσωση με άπειρους όρους

hlkampel · #1

Να λυθεί στο

η εξίσωση $\displaystyle\frac{{{\alpha ^x}}}{{{\beta ^{x + 1}}}} + \frac{{{\alpha ^{x - 2}}}}{{{\beta ^{x + 2}}}} + \frac{{{\alpha ^{x - 4}}}}{{{\beta ^{x + 3}}}} + \cdot \cdot \cdot = \frac{{{\beta ^2}}}{{{\alpha ^2}\beta - 1}}$ με $\alpha ,\beta > 0$ και ${\alpha ^2}\beta - 1 \ne 0$

freyia · #2

Πρέπει πρώτα - πρώτα να ισχύει $\displaystyle{\frac{\beta ^{2}}{a^{2}\beta -1}>0\Leftrightarrow 0<\frac {1}{a^{2}\beta}<1}$

Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξής:

$\displaystyle{\left(\frac{a}{\beta } \right)^{x}\left(\frac{\frac{1}{\beta }}{1-\frac{1}{a^{2}\beta }} \right)=\frac{\beta ^{2}}{a^{2}\beta -1} \Leftrightarrow \left(\frac{a}{\beta } \right)^{x}.\frac{a^{2}\beta }{\beta (a^{2}\beta -1)}=\frac{\beta ^{2}}{a^{2}\beta -1} \Leftrightarrow \left(\frac{a}{\beta } \right)^{x}=\left(\frac{\beta }{a} \right)^{2}\Leftrightarrow x=-2}$ ,

άμα είναι $\displaystyle{a\neq \beta }$

Άν όμως είναι $\displaystyle{a=\beta}$ τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα.

Για να λυθεί, χρησιμοποίησα το άθροισμα απείρων όρων απολύτως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου

Εξίσωση με άπειρους όρους

Εξίσωση με άπειρους όρους

Re: Εξίσωση με άπειρους όρους

Μέλη σε σύνδεση