Χρυσόρριζο

KARKAR · #1

Ορθογώνιο με διαστάσεις $a \times b$ , είναι δυνατόν να διαιρεθεί σε τρία όμοια μεταξύ τους

αλλά και προς το αρχικό , μικρότερα ορθογώνια . Βρείτε το λόγο : $\displaystyle \lambda =\frac{a}{b}$

Γιώργος Απόκης · #2

Επαναφορά

#3

Aς ονομάσουμε DC=a , CB=b , ZH=k

και

* Από τα όμοια ορθογώνια DZHK

και

έχουμε:

$\frac{DZ}{KH}=\frac{ZH}{HE}$ , ή, $\frac{DZ}{HE}=\frac{ZH}{KH}$ , και άρα , $\frac{a-y}{a-y}=\frac{k}{b-k}$ , ή, $\frac{a-y}{b-k}=\frac{k}{a-y}$ , και άρα , b=2k

, ή , $(a-y)^{2}=kb-k^{2}$ , (1)

* Ομοίως από τα ορθογώνια DZHK , ZCBE

, έχουμε:

, ή , $ay-y^{2}=kb$ , (2)

* Τέλος, ομοίως από τα όμοια ορθογώνια DZHK , DCBA

, έχουμε:

, ή , $a^{2}-ay=kb$ , (3)

Aπό τις σχέσεις (1) , (2) , (3) έχουμε

περιπτώσεις, από τις οποίες δεκτές είναι μόνο οι εξής:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:

$b=2k , ay-y^{2}=kb , ab-by=ak$ , από όπου βρίσκουμε ότι , $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:

$(a-y)^{2}=kb-k^{2} , ab-by=ky , a^{2}-ay=bk$ , από όπου βρίσκουμε ότι , $\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ , (χρυσόρριζα)

3η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:

$(a-y)^{2}=kb-k^{2} , ay-y^{2}=kb , ab-by=ak$ , από όπου βρίσκουμε ότι , $\frac{a}{b}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

(Mε την πιθανότητα να μου έχει διαφύγει κάποια μη απορριπτέα περίπτωση)

KARKAR · #4

Στην περίπτωση που τα

ορθογώνια έχουν διαφορετικό μέγεθος , χρησιμοποιώντας ως μονάδα

μέτρησης τη μικρότερη πλευρά , η άλλη πλευρά του μικρού ορθογωνίου θα έχει μήκος $\lambda$ , η αμέσως

μεγαλύτερη $\lambda^2$ , το τρίτο ορθογώνιο θα έχει πλευρές $1+\lambda ^2$ και $\displaystyle\frac{1+\lambda ^2}{\lambda }$ ,( η περίπτωση να ήταν η

,

ίση με $\lambda (1+\lambda^2)$ εύκολα απορρίπτεται ) και το μεγάλο $1+\lambda ^2$ και $\displaystyle\lambda +\frac{1+\lambda ^2}{\lambda }$ . Επομένως έχουμε :

$\displaystyle\frac{\lambda +\frac{1+\lambda ^2}{\lambda }}{1+\lambda ^2}=\lambda \Leftrightarrow \lambda ^2(1+\lambda ^2)={2\lambda ^2+1}\Leftrightarrow \lambda ^4-\lambda ^2-1=0$

που δίνει μοναδική λύση το "χρυσόρριζο" . Ο Δημήτρης αντιμετωπίζοντας και την περίπτωση των δύο

ίσων ορθογωνίων βρήκε και τη λύση $\lambda=\sqrt{2}$ . Του αξίζει ένα

!!

Γιώργος Απόκης · #5

Eγώ που βρήκα μόνο το $\lambda=\sqrt{2}$ θα πάρω καμιά... μονάδα;

Χρυσόρριζο

Χρυσόρριζο

Re: Χρυσόρριζο

Re: Χρυσόρριζο

Re: Χρυσόρριζο

Re: Χρυσόρριζο

Μέλη σε σύνδεση