Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Γιώργος Απόκης » Δευ Απρ 09, 2012 9:39 am

Αφού συμπληρώνεται η συλλογή με τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης, ας συνεχίσουμε με Άλγεβρα.

Ας προσπαθήσουμε να κρατήσουμε τους κανόνες που είχαμε και στις άλλες συλλογές.

\bullet ΟΧΙ θέματα εξετάσεων (αν και είναι λίγα).

\bullet ΟΧΙ θεματα της ΟΕΦΕ.

\bullet OXI περισσότερες των 2-3 άλυτων ασκήσεων.

\bullet Ας βάλουμε στόχο γύρω στις 20 ασκήσεις σε κάθε κεφάλαιο (με τη σειρά που υπάρχουν στο σχολικό)

\bullet Να μην μπαίνει άσκηση συνδυαστική από μεταγενέστερο κεφάλαιο.

\bullet Εφόσον τα προτεινόμενα θέματα τα αντλούμε από διάφορα βοηθήματα, επιβάλλεται να αναφέρεται η πηγή (εφόσον υπάρχει).

\bullet Ας μην προτείνουμε τραβηγμένα θέματα, ούτε ασκήσεις με ένα ερώτημα.

\bullet Ας προσπαθήσουμε τα προτεινόμενα θέματα να έχουν ένα ικανό αριθμό υποερωτημάτων (από 3 έως 5 ερωτήματα).

\bullet Να προσπαθούμε να δίνουμε ολοκληρωμένες λύσεις, έτσι ίσως βοηθήσουμε όποιον φτιάξει το φυλλάδιο να μας δώσει εκτός του αρχείου των εκφωνήσεων και αρχείο με λύσεις.

Επίσης θα είναι κατανοητές και από τους μαθητες.

Λόγω του μικρού αριθμού των ασκήσεων, θα ήθελα οι συμμετέχοντες να κοιτάζουν τα προηγούμενα θέματα, ώστε να μην έχουμε ασκήσεις ίδιας μορφής.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Παρ Απρ 27, 2012 1:02 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από hlkampel » Δευ Απρ 09, 2012 10:37 am

ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η συνάρτηση {\rm{f(x) = 1}} - {\rm{2\sigma \upsilon \nu }}\frac{{{\rm{\omega x}}}}{{\rm{2}}} με x \in R και \omega  \ne 0.

α) Αν η περίοδος της συνάρτησης είναι {\rm T} = 2\pi, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.

β) Να βρεθεί η διαφορά μεταξύ μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

γ) Να λυθεί η εξίσωση f\left( x \right) = \eta {\mu ^2}x στο διάστημα \left[ { - \pi ,\pi } \right]


Edit: Έγινε αλλαγή της άσκησης, για να τηρηθεί η σειρά της ύλης. Συγνώμη για την ταλαιπωρία


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Γιώργος Απόκης » Δευ Απρ 09, 2012 1:04 pm

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1
Δίνεται η συνάρτηση {\rm{f(x) = 1}} - {\rm{2\sigma \upsilon \nu }}\frac{{{\rm{\omega x}}}}{{\rm{2}}} με x \in R και \omega  \ne 0.
α) Αν η περίοδος της συνάρτησης είναι {\rm T} = 2\pi, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
β) Να βρεθεί η διαφορά μεταξύ μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
γ) Να λυθεί η εξίσωση f\left( x \right) = \eta \mu^2 x στο διάστημα \left[ { - \pi ,\pi } \right]


α) Η συνάρτηση έχει την ίδια περίοδο με την \displaystyle{g(x)=2\sigma \upsilon \nu \left(\frac{\omega}{2}x\right)}, δηλαδή \displaystyle{T=\frac{2\pi}{|\frac{\omega}{2}|}\Leftrightarrow 2\pi=\frac{2\pi}{|\frac{\omega}{2}|}\Leftrightarrow |\omega|=2\Leftrightarrow \omega =\pm 2}

επομένως, είναι : \displaystyle{f(x)=1-2\sigma \upsilon \nu x,~x\in \mathbb R}.

β) Η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=-2\sigma \upsilon \nu x,~x\in \mathbb R} έχει ελάχιστη τιμή το -2 και μέγιστη τιμή το 2, άρα η f(x)=1+h(x),~x\in \mathbb R

θα έχει ελάχιστη τιμή το -2+1=-1 και μέγιστη τιμή το 2+1=3, έτσι η διαφορά τους είναι 4.

γ) Είναι : \displaystyle{f(x)=\eta \mu^2 x\Leftrightarrow 1-2\sigma \upsilon \nu x=1-\sigma \upsilon \nu^2 x\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu^2x-2\sigma \upsilon \nu x=0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x(\sigma \upsilon \nu x-2)=0}

και αφού \sigma \upsilon \nu x\ne 2 και x\in [-\pi,\pi] ισοδύναμα έχουμε : \displaystyle{\sigma \upsilon \nu x=0\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}~\acute{\eta}~x=\frac{\pi}{2}}.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8666
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από KARKAR » Δευ Απρ 09, 2012 1:41 pm

Άσκηση 2
Δίνεται η συνάρτηση : \displaystyle f(x)=\frac{\eta\mu x}{1+\sigma\upsilon\nu x}-1 .

1) Βρείτε το πεδίο ορισμού της και το \displaystyle f(\frac{2\pi}{3})

2) Βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική της παράσταση τέμνει τους άξονες


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Απρ 09, 2012 6:20 pm

Θανάση με την άδειά σου να προσθέσουμε άλλο ένα ερώτημα; Δες το και κρίνε!

γ) Λύστε την εξίσωση \displaystyle{f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)} (1) στο πεδίο ορισμού της f και βρείτε την τιμή της παράστασης \displaystyle{A = \frac{{{{(\eta \mu x - 1)}^{2013}} + \lambda }}{{\varepsilon \varphi x - \lambda  \cdot \sigma \upsilon {\nu ^{2012}}x + 1}},\,\,\lambda  \in R - \left\{ {\left. 1 \right\}} \right.} όπου x οι λύσεις της (1)


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Τρί Απρ 10, 2012 11:27 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 2
Δίνεται η συνάρτηση : \displaystyle f(x)=\frac{\eta\mu x}{1+\sigma\upsilon\nu x}-1 .

α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της και το \displaystyle f(\frac{2\pi}{3})

β) Βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική της παράσταση τέμνει τους άξονες

γ) Λύστε την εξίσωση \displaystyle{f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)} (1) στο πεδίο ορισμού της f και βρείτε την τιμή της παράστασης \displaystyle{A = \frac{{{{(\eta \mu x - 1)}^{2013}} + \lambda }}{{\varepsilon \varphi x - \lambda  \cdot \sigma \upsilon {\nu ^{2012}}x + 1}},\,\,\lambda  \in R - \left\{ {\left. 1 \right\}} \right.}
όπου x οι λύσεις της (1)


Λύση

α.Για να ορίζεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1} πρέπει \displaystyle{\sigma \upsilon \nu x+1\ne 0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x\ne -1\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x\ne \sigma \upsilon \nu \pi \Leftrightarrow x\ne 2\kappa \pi \pm \pi ,\kappa \in \text{Z}}

Άρα το πεδίου ορισμου της συνάρτησης \displaystyle{f(x) = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1} είναι τα \displaystyle{x\in R-\left\{ 2\kappa \pi +\pi ,\left. \kappa \in \text{Z} \right\} \right.}


Ακόμα \displaystyle{f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\eta \mu \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + 1}} - 1 = \frac{{\eta \mu \left( {\pi  - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{\sigma \upsilon \nu \left( {\pi  - \frac{\pi }{3}} \right) + 1}} - 1 =\displaystyle \frac{{\eta \mu \left( {\frac{\pi }{3}} \right)}}{{ - \sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\pi }{3}} \right) + 1}} - 1 =\displaystyle \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} - 1 = \sqrt 3  - 1}

β.Για \displaystyle{x = 0} έχουμε \displaystyle{f(0) = \frac{{\eta \mu 0}}{{\sigma \upsilon \nu 0 + 1}} - 1 = 0 - 1 =  - 1}.Επομένως η \displaystyle{{C_f}} τεμνει τον άξονα \displaystyle{yy} στο σημείο \displaystyle{{\rm A}(0, - 1)}.


Λυνουμε την εξίσωση \displaystyle{f(x) = 0} για να προσδιορίσουμε τα σημεία στα οποία η \displaystyle{{C_f}} τεμνει τον άξονα \displaystyle{xx}. Έχουμε,

\displaystyle{f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} = 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x + 1 = \eta \mu x \Leftrightarrow  - \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x =  - 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(*)} \sqrt 2 \eta \mu \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow}

\displaystyle{\eta \mu \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \eta \mu \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \eta \mu \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{{3\pi }}{4} = 2\kappa \pi  - \frac{\pi }{4}\\
x + \frac{{3\pi }}{4} = 2\kappa \pi  + \frac{{3\pi }}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\kappa \pi  - \pi \\
x = 2\kappa \pi 
\end{array} \right.}

Η λύση \displaystyle{x = 2\kappa \pi  - \pi ,\kappa  \in {\rm Z}} απορρίπτεται.

\displaystyle{\begin{array}{l}
(*)\rho  = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}}  = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \\

\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{\alpha }{\rho }\\
\displaystyle\eta \mu \varphi  = \frac{\beta }{\rho }
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\sigma \upsilon \nu \varphi  =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\displaystyle\eta \mu \varphi  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\displaystyle\end{array} \right.
\end{array}}

Συνεπώς μια γωνία είναι η \displaystyle{\varphi  = \frac{{3\pi }}{4}}

γ.\displaystyle{f( - x) = \frac{{\eta \mu ( - x)}}{{\sigma \upsilon \nu ( - x) + 1}} - 1 = \frac{{ - \eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1}


Επομένως για κάθε \displaystyle{x\in R-\left\{ 2\kappa \pi +\pi ,\left. \kappa \in \text{Z} \right\} \right.} η εξίσωση γίνεται

\displaystyle{\begin{array}{l}
f( - x) = f(x) \Leftrightarrow \frac{{ - \eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1 = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} - 1 \Leftrightarrow \frac{{2\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \eta \mu x = 0 \Leftrightarrow \eta \mu x = \eta \mu 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\kappa \pi ,\kappa  \in {\rm Z}\\
x = 2\kappa \pi  + \pi ,\kappa  \in {\rm Z}
\end{array} \right.\\
\end{array}}

Η λύση \displaystyle{x=2\kappa \pi +\pi ,\kappa \in \text{Z}} απορρίπτεται.

\displaystyle{{\rm A} = \frac{{{{\left( {\eta \mu x - 1} \right)}^{2013}} + \lambda }}{{\varepsilon \varphi x - \lambda \sigma \upsilon {\nu ^{2012}}x + 1}} = \frac{{{{\left( {0 - 1} \right)}^{2013}} + \lambda }}{{0 - \lambda {{(1)}^{2012}} + 1}} = \frac{{\lambda  - 1}}{{1 - \lambda }} =  - 1}


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από erxmer » Πέμ Απρ 19, 2012 9:00 pm

ΑΣΚΗΣΗ 3

∆ίνεται η δευτεροβάθµια ως προς x εξίσωση x^2-(2sina)x-cos^2a=0, όπου a είναι µια γωνία ανεξάρτητη από το x

1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες

2) Να εκφράσετε το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της ως συνάρτηση του a

3) Αν µία ρίζα της εξίσωσης είναι το \frac{1}{2} να υπολογίσετε την τιµή του sina


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από hlkampel » Πέμ Απρ 19, 2012 9:30 pm

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3

∆ίνεται η δευτεροβάθµια ως προς x εξίσωση x^2-(2sina)x-cos^2a=0, όπου a είναι µια γωνία ανεξάρτητη από το x

1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες

2) Να εκφράσετε το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της ως συνάρτηση του a

3) Αν µία ρίζα της εξίσωσης είναι το \frac{1}{2} να υπολογίσετε την τιµή του sina


1) Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: \Delta  = 4{\sin ^2}\alpha  + 4{\cos ^2}\alpha  = 4 > 0

Άρα έχει δύο άνισες λύσεις για κάθε \alpha  \in R.

2) Αν {x_1},{x_2} είναι οι ρίζες της τότε:

{x_1} + {x_2} =  - \frac{\beta }{\alpha } = 2\sin \alpha και

{x_1} \cdot {x_2} = \frac{\gamma }{\alpha } =  - {\cos ^2}\alpha

3) Με x = \frac{1}{2} η εξίσωση γίνεται:

\frac{1}{4} - \sin \alpha  - {\cos ^2}\alpha  = 0 \Leftrightarrow 1 - 4\sin \alpha  - 4{\cos ^2}\alpha  = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{{\cos }^2}\alpha  = 1 - {{\sin }^2}\alpha }

1 - 4\sin \alpha  - 4 + 4{\sin ^2}\alpha  = 0 \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha  - 4\sin \alpha  - 3 = 0

{\Delta _1} = 16 + 48 = 64

{\sin _{1,2}}\alpha  = \frac{{4 \pm 8}}{8} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}

 \sin \alpha  = \frac{3}{2} > 1\;\alpha \pi o\rho \rho \dot \iota \pi \tau \varepsilon \tau \alpha \iota  \\ 
 \sin \alpha  =  - \frac{1}{2} \\ 
 \end{array} \right.

Άρα \sin \alpha  =  - \frac{1}{2}


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
alexandropoulos
Δημοσιεύσεις: 357
Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από alexandropoulos » Παρ Απρ 20, 2012 12:08 pm

Άσκηση 4

Έστω τριγωνομετρική συνάρτηση f της οποίας γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση
askhsh.png
askhsh.png (71.69 KiB) Προβλήθηκε 3138 φορές
.
α. Να προσδιοριστεί ο τύπος της συνάρτησης f η μονοτονία και τα ακρότατά της.
β. Έστω συνάρτηση g με g(x)=2+2\cdot \sqrt{3}cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4} \right).
i. Να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση της g.
ii. Να προσδιορισθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g


...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Μάκης Χατζόπουλος » Παρ Απρ 20, 2012 10:16 pm

Λέγοντας τριγωνομετρική συνάρτηση έχω την εντύπωση ότι δεν καλυπτόμαστε, ίσως θα πρέπει να δίνεται και η γενική μορφή της συνάρτησης. Ε; Τι λες;


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
alexandropoulos
Δημοσιεύσεις: 357
Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από alexandropoulos » Παρ Απρ 20, 2012 10:25 pm

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Λέγοντας τριγωνομετρική συνάρτηση έχω την εντύπωση ότι δεν καλυπτόμαστε, ίσως θα πρέπει να δίνεται και η γενική μορφή της συνάρτησης. Ε; Τι λες;


Ας την πούμε λοιπόν f(x)=rsin(kx+w)τη συνάρτηση για να είμαστε εντάξει.

Όταν θα συναντήσουν όμως γραφικές παραστάσεις ταλαντώσεων τότε δεν δίνεται η γενική μορφή


...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από erxmer » Πέμ Απρ 26, 2012 3:05 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται το πολυώνυµο P(x)=x^3-(a+3)x^2+8x-2a, a \in R. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του
P(x) µε το x + 1 είναι ίσο µε -18.

1) Να βρείτε την τιµή του a.

2) Για a=2:

A) Να κάνετε τη διαίρεση του P(x) δια του πολυωνύµου x^2+1 και στη συνέχεια να γράψετε το P(x) µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.

B) Να λύσετε την ανίσωση: P(x) \geq 7x+1


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Γιώργος Απόκης » Παρ Απρ 27, 2012 11:47 am

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5
Δίνεται το πολυώνυµο P(x)=x^3-(a+3)x^2+8x-2a, a \in R. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του
P(x) µε το x + 1 είναι ίσο µε -18.
1) Να βρείτε την τιµή του a.
2) Για a=2:
A) Να κάνετε τη διαίρεση του P(x) δια του πολυωνύµου x^2+1 και στη συνέχεια να γράψετε το P(x) µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης.
B) Να λύσετε την ανίσωση: P(x) \geq 7x+1


1) Ισχύει : P(-1)=-18\Leftrightarrow -1-a-3-8-2a=-18\Leftrightarrow -3a=-6\Leftrightarrow a=2.

2) Για a=2, έχουμε : P(x)=x^3-5x^2+8x-4.

A) Εκτελούμε τη διαίρεση :

\begin{tabular}{c c c c c|c}
& x^3& -5x^2 & +8x &-4 & x^2+1\\\cline {6-6}
 \line
&(+)& -x^3&  & -x &  & x-5 \multicolumn{1}{c}{} \\
\cline {1-5}
& & -5x^2 &+7x  &-4  &\multicolumn{1}{c}{} \\
 (+)& &  5x^2& & +5 &  \multicolumn{1}{c}{} \\
\cline {1-5}
& &  &7x  & +1 & \multicolumn{1}{c}{} \\
\end{tabular}

Άρα, x^3-5x^2+8x-4=(x-5)(x^2+1)+7x+1.

B) Έχουμε : \displaystyle{P(x)\geq 7x+1\Leftrightarrow (x-5)(x^2+1)+7x+1\geq 7x+1\Leftrightarrow (x-5)(x^2+1)\geq 0\overset{x^2+1>0}\Leftrightarrow x-5\geq 0\Leftrightarrow x\geq 5}.


Γιώργος
perpant
Δημοσιεύσεις: 441
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από perpant » Παρ Απρ 27, 2012 3:11 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6η
Α) Να βρεθεί πολυώνυμο \displaystyle{P\left( x \right)} τετάρτου βαθμού, τέτοιο ώστε:

i) \displaystyle{P\left( 0 \right) = 0} και

ii) \displaystyle{P\left( x \right) - P\left( {x - 1} \right) = x^3 }, για κάθε \displaystyle{x \in R}

Β) Να υπολογιστεί το άθροισμα \displaystyle{S = 1^3  + 2^3  + 3^3  + ... + \nu ^3 }, όπου \displaystyle{
\nu  \in N^* }


Ποσταντζής-Γκικάκη (Βιβλιοεκδοτική Αναστασάκη)


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Γιώργος Απόκης » Παρ Απρ 27, 2012 4:14 pm

perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 6η
Α) Να βρεθεί πολυώνυμο \displaystyle{P\left( x \right)} τετάρτου βαθμού, τέτοιο ώστε:
i) \displaystyle{P\left( 0 \right) = 0} και
ii) \displaystyle{P\left( x \right) - P\left( {x - 1} \right) = x^3 }, για κάθε \displaystyle{x \in R}
Β) Να υπολογιστεί το άθροισμα \displaystyle{S = 1^3  + 2^3  + 3^3  + ... + \nu ^3 }, όπου \displaystyle{
\nu  \in N^* }
Ποσταντζής-Γκικάκη (Βιβλιοεκδοτική Αναστασάκη)


A) Έστω P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. Αφού P(0)=0\Leftrightarrow e=0 άρα P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx,~x\in \mathbb R.

Είναι : \displaystyle{P(x)-P(x-1)=ax^4+bx^3+cx^2+dx-a(x-1)^4-b(x-1)^3-c(x-1)^2-d(x-1)=}

\displaystyle{=a(4x^3-6x^2+4x-1)+b(3x^2-3x+1)+c(2x-1)+d=4ax^3+(3b-6a)x^2+(4a-3b+2c)x+b-a+d-c}.

Aφού για κάθε x\in \mathbb R ισχύει P(x)-P(x-1)=x^3 έχουμε : \displaystyle{\begin{cases} 4a=1\\3b-6a=0 \\4a-3b+2c=0 \\b-a+d-c=0 \end{cases}} από όπου με διαδοχικές αντικαταστάσεις

σε κάθε επόμενη εξίσωση, προκύπτει : \displaystyle{a=c=\frac{1}{4},b=\frac{1}{2},d=0} άρα \displaystyle{P(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2,x\in \mathbb R}.

B) Από τη σχέση : P(x)-P(x-1)=x^3 για x \in \{1,2,...,\nu\} έχουμε :

\displaystyle{\begin{cases} P(1)-P(0)=1^3 \\P(2)-P(1)=2^3 \\ ~~~~~~\vdots \\P(\nu)-P(\nu -1)=\nu^3 \end{cases}}. Mε πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει :

\displaystyle{P(\nu)-P(0)=S\Leftrightarrow S=\frac{1}{4}\nu^4+\frac{1}{2}\nu^3+\frac{1}{4}\nu^2-0\Leftrightarrow S=\frac{\nu^4+2\nu^3+\nu^2}{4}\Leftrightarrow S=\left[\frac{\nu(\nu+1)}{2}\right]^2}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από erxmer » Τρί Μάιος 15, 2012 2:24 pm

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται γεωμετρική προόδος a_n με a_1>0 και λόγο\lambda  \in Zγια την οποία ισχύει
a_3+3a_1<4a_2

α) Να βρεθεί το \lambda  \in Z

β) Αν ο γεωμετρικός μέσος των a_2, a_3 είναι 6\sqrt{2} να βρεθεί το a_1

γ) Να βρεθεί το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της προόδου


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5036
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Γιώργος Απόκης » Τρί Μάιος 15, 2012 2:38 pm

Μένουν οι : 4,7.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από hlkampel » Τρί Μάιος 15, 2012 3:06 pm

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνεται γεωμετρική προόδος a_n με a_1>0 και λόγο\lambda  \in Zγια την οποία ισχύει
a_3+3a_1<4a_2

α) Να βρεθεί το \lambda  \in Z

β) Αν ο γεωμετρικός μέσος των a_2, a_3 είναι 6\sqrt{2} να βρεθεί το a_1

γ) Να βρεθεί το άθροισμα των 10 πρώτων όρων της προόδου


α) {\alpha _3} + 3{\alpha _1} < 4{\alpha _2} \Leftrightarrow {\alpha _1}{\lambda ^2} + 3{\alpha _1} < 4{\alpha _1}\lambda  \Leftrightarrow {\alpha _1}\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda  + 3} \right) < 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{\alpha _1} > 0}

\left( {\lambda  - 3} \right)\left( {\lambda  - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < \lambda  < 3

Άρα \lambda  = 2 γιατί \lambda  \in Z.

β) Είναι {\left( {6\sqrt 2 } \right)^2} = {\alpha _2} \cdot {\alpha _3} \Leftrightarrow 72 = {\alpha _1} \cdot \lambda {\alpha _1} \cdot {\lambda ^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\lambda  = 2} \alpha _1^2 = 9\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{\alpha _1} > 0} {\alpha _1} = 3

γ) {S_v} = {\alpha _1}\frac{{{\lambda ^v} - 1}}{{\lambda  - 1}} \Rightarrow {S_{10}} = 3 \cdot \frac{{{2^{10}} - 1}}{{2 - 1}} \Rightarrow {S_{10}} = 1023 \cdot 3 = 3069


Ηλίας Καμπελής
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από pana1333 » Τετ Μάιος 16, 2012 6:37 am

Μία πρωινή διδακτική απλή έμπνευση, ελπίζω να μην έχει προβλήματα!

ΑΣΚΗΣΗ 8

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f\left(x \right)=ln2ax^{3}-ln\left(a+1 \right)x^{2}-ln2x+ln2 με a>0 της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο \left(1,0 \right).
1) Να βρεθεί ο θετικός αριθμός a
2) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες x'x, y'y
3) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον x'x
4)Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με την οριζόντια ευθεία y=\frac{ln8-ln2}{2}
5) Να δείξετε ότι 2e^{f\left(1 \right)}=e^{\frac{ln8-ln2}{2}}
6) Να λυθεί η εξίσωση \sigma \upsilon \nu x + e^{\frac{ln8-ln2}{2}}=e^{f\left(1 \right)}


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1196
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων στην Άλγεβρα της Β' Λυκείου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από exdx » Παρ Μάιος 18, 2012 9:42 am

ΑΣΚΗΣΗ 8 - ΛΥΣΗ
1) Η συνάρτηση ορίζεται στο \displaystyle{\Re } και
\displaystyle{f(1) = 0 \Leftrightarrow \ln 2\alpha  - \ln (\alpha  + 1) - \ln 2 + \ln 2 = 0 \Leftrightarrow \ln 2\alpha  = \ln (\alpha  + 1) \Leftrightarrow 2\alpha  = \alpha  + 1 \Leftrightarrow \alpha  = 1}
2) Για \displaystyle{\alpha  = 1} είναι
\displaystyle{\begin{array}{l}
 f\left( x \right) = ln2{x^3} - ln2{x^2} - ln2x + ln2 = \ln 2\left( {{x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = \ln 2\left[ {{x^2}(x - 1) - (x - 1)} \right] =  \\ 
  \\ 
  = \ln 2\left[ {(x - 1)({x^2} - 1)} \right] = \ln 2\left[ {{{(x - 1)}^2}(x + 1)} \right] \\ 
 \end{array}}
Επομένως : \displaystyle{f\left( 1 \right) = 0} και \displaystyle{f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2}(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1,x =  - 1}

Άρα τέμνει τους άξονες στα \displaystyle(1,0),\ ( - 1,0)}

3) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον \displaystyle{\chi '\chi }
αν και μόνο αν
\displaystyle{f(x) > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2}(x + 1) > 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \wedge x >  - 1 \Leftrightarrow x \in ( - 1,1) \cup (1, + \infty )}

4) Είναι \displaystyle{y = \frac{{ln8 - ln2}}{2} = \frac{{\ln \frac{8}{2}}}{2} = \frac{{2\ln 2}}{2} = \ln 2}
Επομένως
\displaystyle{\begin{array}{l}
 f(x) = y \Leftrightarrow f(x) = \ln 2 \Leftrightarrow \ln 2{(x - 1)^2}(x + 1) = \ln 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2}(x + 1) = 1 \Leftrightarrow  \\ 
  \\ 
  \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - x + 1 = 1 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0{\rm{ }}n{\rm{ }}x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} \\ 
 \end{array}}

5) \displaystyle{2{e^{f\left( 1 \right)}} = {e^{\frac{{ln8 - ln2}}{2}}} \Leftrightarrow 2{e^0} = {e^{\ln 2}} \Leftrightarrow 2 = 2} , που ισχύει .

6) \displaystyle{\sigma \upsilon \nu x + {e^{\frac{{ln8 - ln2}}{2}}} = {e^{f\left( 1 \right)}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x + 2 = 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x =  - 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x = \sigma \upsilon \nu \pi  \Leftrightarrow x = 2\kappa \pi  \pm \pi ,\kappa  \in {\rm Z}}


Kαλαθάκης Γιώργης

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης