Συνδυαστική

erxmer · #1

Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x)=2ax^3+x^2-x-b

το οποίο διαιρούμενο με το x-1

δίνει
υπόλοιπο

, ενώ διαιρούμενο με το x-2

δίνει υπόλοιπο

.

α) Να βρείτε τα a,b

β)Να λυθεί η εξίσωση $sinax+cos\frac{bx}{2}=1$

γ) Να λύσετε την εξίσωση $b^{2lnx}=x^{ln4a}+2$

δ) Να βρεθεί το πεδίo ορισμού της συνάρτησης f(x)= ln(ax^2+bx-5)

Γιώργος Απόκης · #2

erxmer έγραψε:Θεωρούμε το πολυώνυμο το οποίο διαιρούμενο με το δίνει
υπόλοιπο, ενώ διαιρούμενο με το δίνει υπόλοιπο .
α) Να βρείτε τα
β)Να λυθεί η εξίσωση $sinax+cos\frac{bx}{2}=1$
γ) Να λύσετε την εξίσωση $b^{2lnx}=x^{ln4a}+2$
δ) Να βρεθεί το πεδίo ορισμού της συνάρτησης

α) Ισχύουν : $\displaystyle{\begin{cases} P(1)=-1 \\ P(2)=8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2a+1-1-b=-1 \\ 16a+4-2-b=8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2a-b=-1 \\ 16a-b=8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=2\end{cases}}$

β) Θα χρησιμοποιήσω τον (απαγορευμένο) τύπο : $\cos 2a=1-2\sin^2 a$ (1)

Η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{\sin\frac{x}{2}+\cos\left(2 \frac{x}{2}\right)=1\overset{(1)}\Leftrightarrow \sin\frac{x}{2}+1-2\sin^2\frac{x}{2}=1\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}\left(1-2\sin\frac{x}{2}\right)=0\Leftrightarrow \sin\frac{x}{2}=0~\acute{\eta}~\sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{x}{2}=k\pi~\acute{\eta}~\frac{x}{2}=2k\pi+\frac{\pi}{6}~\acute{\eta}~\frac{x}{2}=2k\pi+\frac{5\pi}{6}\Leftrightarrow x=2k\pi~\acute{\eta}~x=4k\pi+\frac{\pi}{3}~\acute{\eta}~x=4k\pi+\frac{5\pi}{3},~k\in \mathbb Z}$ .

γ) Για x>0

, η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{2^{2\ln x}=x^{\ln 2}+2\Leftrightarrow \left(2^{\ln x}\right)^2=x^{\ln 2}+2 \Leftrightarrow \left(2^{\ln x}\right)^2=2^{\ln x}+2\Leftrightarrow \left(2^{\ln x}\right)^2-2^{\ln x}-2=0 }$ .

Θέτουμε $y=2^{\ln x}>0$ και έχουμε : $y^2-y-2=0\Leftrightarrow y=-1<0~\acute{\eta}~y=2>0$ . Τελικά, $2^{\ln x}=2\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=e$ (δεκτή).

δ) Eίναι : $\displaystyle{f(x)=\ln\left(\frac{1}{2}x^2+2x-5\right)}$ . Πρέπει $\displaystyle{\frac{1}{2}x^2+2x-5>0}$ . Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta=14>0$ και ρίζες

$\displaystyle{-2+\sqrt{14},-2-\sqrt{14}}$ άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι : $\displaystyle{A=(-\infty,-2-\sqrt{14}) \cup (-2+\sqrt{14},+\infty)}$ .

Συνδυαστική

Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Μέλη σε σύνδεση