Ελάχιστο εμβαδόν

KARKAR · #1

Σημείο

κινείται στην πλευρά

( μήκους

) , τετραγώνου ABCD

. Με πλευρά την

σχεδιάζω το τετράγωνο ATPQ

, του οποίου η πλευρά

τέμνει την

στο σημείο

.

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του (ADS)

S.E.Louridas · #2

Το τετράπλευρο ATSD

είναι εγγράψιμμο.
Για να έχουμε το ελάχιστο του (ADS)

αρκεί το

να είναι ελάχιστο, δηλαδή αρκεί η γωνία $\angle DSA=\angle DTA$ να είναι μέγιστη.
Αυτό συμβαίνει όταν το σημείο

συμπέσει με το μέσο της πλευράς

.
Στην περίπτωση αυτή παίρνουμε
$\displaystale{DS^2 + a^2 = SC^2 + a^2 + 2\frac{{a^2 }} {4} \Rightarrow ... \Rightarrow DS = \frac{{3a}} {4} \Rightarrow \left( {ADS} \right) = \frac{{3a^2 }} {8}}$

KARKAR · #3

Η άσκηση δεν βρέθηκε στο φάκελο " Άλγεβρα " κατά λάθος . Ποντάρισα σε λύση μεγιστοποίησης του

.

.... Αλλά ο Σωτήρης κυκλοφορούσε ελεύθερος

. Συνεπώς :

1) Δώστε και αλγεβρική λύση

2) Δείξτε ότι όντως η γωνία $\widehat{DTA}$ μεγιστοποιείται όταν το

γίνει το μέσο της

.

3) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

, ( αφού βρήκαμε παππά ...)

S.E.Louridas · #4

Για το 2ο ερώτημα (σχ. 1) :
Παρατηρούμε ότι:
$\angle DFA = \angle DHA \leqslant \angle DTA,$
όταν το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

(τότε ο μπλέ κύκλος είναι εφαπτόμενος στη πλευρά

).

Για το 3ο ερώτημα (σχ. 2):
Παρατηρούμε ότι:
$\angle APT = \angle ACT = 45^ \circ$
που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το τετράπλευρο ATCP

είναι εγγράψιμμο σε κύκλο. Άρα έχουμε:
$\angle ACP = 90^ \circ$
που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα

.

k-ser · #5

Θανάση, δεν θα σου κάνω μάλλον τη χάρη για την ελαχιστοποίηση που έχεις υπόψιν σου!

Μετά τις ωραίες λύσεις του Σωτήρη, θα προτείνω και το παρακάτω, για το ζητούμενο προς ελαχιστοποίηση εμβαδόν.
Εικόνα

Έστω $\displaystyle{TB=x, \ \ SC=y, \ \ TC=a-x}$

Τα τρίγωνα $\displaystyle{SCT}$ και $\displaystyle{TBA}$ είναι όμοια και συνεπώς $\displaystyle{y=\frac{ax-x^2}{a}}$

Έτσι, $\displaystyle{DS=a-\frac{ax-x^2}{a}}$ και συνεπώς $\displaystyle{(ADS)=\frac{1}{2}(x^2-ax+a^2)=f(x), \ \ x\in[0,a]}$

Το ελάχιστο της παραπάνω συνάρτησης είναι για $\displaystyle{x=\frac{a}{2}}$ και είναι ίσο με $\displaystyle{f\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{3a^2}{8}}$

S.E.Louridas · #6

Μα είναι η λύση του φίλου Κώστα αφού έχουμε:
$\displaystale{x^2 - ax + a^2 - 2\left( {ADS} \right) = 0 \Rightarrow \Delta \geqslant 0 \Rightarrow \left( {ADS} \right) \geqslant \frac{{3a^2 }} {8}}$

KARKAR · #7

Μα αυτή τη λύση εννοούσα

! Μάλιστα αν δεν εμπλεκόταν η ομοιότητα και ήμασταν βέβαιοι ότι είναι

γνωστή η ύλη για το ακρότατο του τριωνύμου , θα την τοποθετούσα στο φάκελο "Άλγεβρα Α' Λυκείου" .

Απλά θεωρώντας προφανές ότι το εμβαδόν ελαχιστοποιείται , όταν το

μεγιστοποιείται και

δεδομένου ότι $\displaystyle y=-\frac{1}{a}x^2+x$ , άμεσα προκύπτει ότι : $\displaystyle x=\frac{a}{2}$

#8

Αναλυτικογεωμετρικά με στοιχεία Άλγεβρας (ακρότατο τριωνύμου).

Για να μην εκτροχιαστεί τελείως ο φάκελος απέφυγα το ελάχιστο με .... χρήση παραγώγων

Κατά βάθος πρέπει να παραδεχτούμε, ότι λίγη από τη γοητεία του Mathematica βρίσκεται στις πολλαπλές προσεγγίσεις του ίδιου θέματος!

: 22-05-2011 Γεωμετρία.jpg (18.5 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο A(0, 0)

παίρνουμε τα σημεία B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1)

που είναι κορυφές τετραγώνου.

Στην πλευρά

παίρνουμε σημείο $T(1, k), 0 \le k \le 1$ .

H

έχει εξίσωση y = kx

.

Η κάθετη (e)

της

στο

έχει εξίσωση $\displaystyle y - k = - \frac{1}{k}\left( {x - 1} \right)$

H

, έχει εξίσωση $\displaystyle y = 1,\;\;0 \le x \le 1$ .

H (e)

τέμνει την

στο $\displaystyle S\left( {k^2 - k + 1,\;\;1} \right)$

Το τριώνυμο $\displaystyle P\left( k \right) = k^2 - k + 1,\;\;0 \le k \le 1$ έχει διακρίνουσα $\displaystyle \Delta = - 3$ , άρα είναι θετικό.

Είναι $\displaystyle \left( {DS} \right) = k^2 - k + 1$ , οπότε το εμβαδό του ADS

δίνεται από τη συνάρτηση $\displaystyle \left( {ADS} \right) = f\left( k \right) = \frac{{k^2 - k + 1}}{2},\;\;0 \le k \le 1$

η οποία έχει ελάχιστο το $\displaystyle \frac{1}{2}\left( { - \frac{\Delta }{4}} \right) = \frac{3}{8}$ όταν $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ , δηλαδή όταν το

είναι μέσο του BC.

Για πλευρά τετραγώνου ίση με

, το ελάχιστο εμβαδό είναι $\displaystyle \frac{3}{8}a^2$

Κι ένα σχετικό αρχείο Geogebra με το σχήμα του προβλήματος για a = 4

Ελάχιστο εμβαδόν

Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση