Απόλυτες Τιμές

Atemlos · #1

Να δείξετε ότι : $\displaystyle{\left| {x + y} \right| + \left| {x - y} \right| = \left| x \right| + \left| y \right| + \left| {\left| x \right| - \left| y \right|} \right|}$

$\displaystyle{\forall \left( {x,y} \right) \in R}$

dr.tasos · #2

Τετραγωνιζω αφου και τα δυο μελη ειναι μη αρνητικα και παιρνω

$|x+y|^2+|x-y|^2+2|x^2-y^2|=(||x|+|y||)^2+(|x|-|y|)^2+2||x|^2-|y|^2| \Leftrightarrow x^2+y^2+2xy+ x^2+y^2-2xy= x^2+y^2+2|xy|+ x^2+y^2-2|xy| \Leftrightarrow 2(x^2+y^2)=2(x^2+y^2) \Leftrightarrow 0=0$

που ισχυει .

Antonis_Z · #3

Δίνω ακόμα 2 λύσεις.

1η: λόγω των απολύτων έχουμε συμμετρία,άρα μπορώ να υποθέσω χωρίς βλάβη ότι |x|>|y|

.Τότε το δεξί μέλος κάνει 2|x|

.Ισχύει όμως ότι $|x+y|+|x-y|\geq 2|x|$ λόγω της τριγωνικής ανισότητας.Η ισότητα ισχύει μόνο αν οι x+y,x-y

είναι ομόσημοι,δηλαδή αρκεί να αποδείξουμε ότι $(x+y)(x-y)>0\leftrightarrow x^2>y^2$ που ισχύει σύμφωνα με αυτό που υποθέσαμε στην αρχή( |x|>|y|

).Άρα η ισότητα όντως ισχύει.

2η: Παίρνουμε 3 περιπτώσεις.
Αν xy>0

τότε ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: |x|+|y|=|x+y| and ||x|-|y||=|x-y|

,με πρόσθεση έχουμε το ζητούμενο.
Αν xy<0

τότε ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: |x|+|y|=|x-y| and ||x|-|y||=|x+y|

,με πρόσθεση έχουμε το ζητούμενο.
Αν xy=0

τότε τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι ίσος με 0.Με αυτό , η ισότητα ισχύει προφανώς.

Απόλυτες Τιμές

Απόλυτες Τιμές

Re: Απόλυτες Τιμές

Re: Απόλυτες Τιμές

Μέλη σε σύνδεση