Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Έστω εφα και εφβ οι ρίζες της εξίσωσης: $x^{2}+px-q=0$ όπου p,q πραγματικές σταθερές

Να δείξετε ότι η παράσταση $E=sin^{2}(a+b)+(1+q)sin(a+b)+pcos(a+b)$ είναι σταθερή.

Βοηθητικά υποερωτήματα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Υ.Γ 1: Μαζί με τα υποερωτήματα, νομίζω ότι είναι κατάλληλη άσκηση για διαγώνισμα σε σχολείο. Τι λέτε;
Υ.Γ 2: Υπενθυμίζω (για μαθητές κυρίως) ότι: cosx=συνχ sinx=ημχ
Υ.Γ 3: Από τις αγαπημένες ασκήσεις μου όταν ήμουν μαθητής (μου την έχει υποβάλει ένας καλός φίλος, άρε Νίκο)
Υ.Γ 4: Το παραπάνω θέμα (σε πιο ligth μορφή) το έχω συμπεριλάβει (χωρίς όμως τα υποερωτήματα) και στα "25 Προτεινόμενα θέματα του ΑΣΕΠ"

#2

mac190604 έγραψε:Έστω εφα και εφβ οι ρίζες της εξίσωσης: $x^{2}+px+q=0$ όπου p,q πραγματικές σταθερές

Να δείξετε ότι η παράσταση $E=sin^{2}(a+b)+(q+1)sin(a+b)+pcos(a+b)$ είναι σταθερή.

γεια σου Μάκη

η εξίσωση μήπως πρέπει νά ναι η $\boxed{x^{2}+px\color{red}-q=0}$ όπου p,q πραγματικές σταθερές

γιατί διαφορετικά ,νομίζω πως κάτι δεν πηγαίνει καλά
για κοίταξέ το λίγο

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Φωτεινή έγραψε:
mac190604 έγραψε:Έστω εφα και εφβ οι ρίζες της εξίσωσης: $x^{2}+px+q=0$ όπου p,q πραγματικές σταθερές

Να δείξετε ότι η παράσταση $E=sin^{2}(a+b)+(q+1)sin(a+b)+pcos(a+b)$ είναι σταθερή.
γεια σου Μάκη
η εξίσωση μήπως πρέπει νά ναι η $\boxed{x^{2}+px\color{red}-q=0}$ όπου p,q πραγματικές σταθερές
γιατί διαφορετικά ,νομίζω πως κάτι δεν πηγαίνει καλά
για κοίταξέ το λίγο

Έχεις απόλυτα δίκιο Φωτεινή! Έκανα την αλλαγή, από q έβαλα -q και έτσι το σώζουμε. Θα μπορούσα να το αφήσω και έτσι αλλά να αλλάξω τα υποερωτήματα. Σε ευχαριστώ

Υ.Γ: Αν δεις τα θέματα ΑΣΕΠ που έχω βάλει είναι πιο απλή και βατή η άσκηση (χωρίς λάθη κ χωρίς υποερωτήματα), η αλλαγή που της έκανα μου ξέφυγε το μείον.

p_gianno · #4

Μια διαπραγμάτευση αυτού του θέματος υπάρχει στο συνημμένο

Π.Γ

Το αρχείο που υπήρχε εδώ αντικαταστάθηκε από άλλο με συντομότερη λύση στο επόμενό μου μήνυμα .

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Χάζευα την λύση σου, πολύ όμορφη απόδειξη και χωρίς την βοήθεια των υποερωτημάτων. Εγώ είχα σκεφτεί μια πιο "μαθητική" λύση (τα ερωτήματα που έβαλα δείχνουν την πορεία λύσης μου)! Δεν το είχα σκεφτεί ότι λύνεται κ έτσι...

Τι λέτε μπορούμε να την βάλουμε σε διαγώνισμα πρώτου τετραμήνου ή θα τους κάψουμε;; Με τα υποερωτήματα φυσικά

k-ser · #6

Παναγιώτη, πολύ καλή η λύση σου - το ίδιο σκέφτηκα, αλλά είχα μπλέξει με το λάθος πρόσημο και το παράτησα.
Μια παρατήρηση:
$\displaystyle \tan{(a+b)}=\frac{\tan{a}+\tan{b}}{1-\tan{a}\cdot \tan{b}}=\frac{-p}{1+q}$
οπότε:
$\displaystyle \frac{\sin{(a+b)}}{\cos{(a+b)}}=\frac{-p}{1+q}$
Άρα
$(1+q)\sin{(a+b)}+p\cos{(a+b)}=0$
και έτσι
$E=\sin^2{(a+b)} = ....$

Και μία ακόμα...
ποιο είναι το μεταβλητό στην παράσταση ώστε να ζητήσουμε η παράσταση να είναι σταθερή;
Απάντηση: αφού $\tan{a}, \tan{b}$ είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί το μόνο το οποίο μπορεί να μεταβάλλεται, στην παράσταση, είναι τα πρόσημα του $\sin{(a+b)}$ και του $\cos{(a+b)}$

Θα προτιμούσα το ζητούμενο να είναι να δειχθεί ότι η παράσταση είναι ίση με
$\displaystyle \frac{p^2}{(1+q)^2+p^2}$

Βασίλης Καλαμάτας · #7

Καλημέρα...
Έχει δημοσιευθεί στον Ευκλείδη (δυστυχώς δεν έχω στο σπίτι το αρχείο με τα περιοδικά για να δώσω τεύχος και σελίδα), η παρακάτω άσκηση που είναι μια σαφώς πιο απλή εκδοχή του παραπάνω.

Δίνεται η εξίσωση $x^{2}-x-1=0$ η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς $x_{1}=$ εφα και $x_{2}=$ εφβ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
Α=6ημ $^{2}$ (α+β)-ημ(α+β)συν(α+β)-συν $^{2}$ (α+β)

p_gianno · #8

k-ser έγραψε:Παναγιώτη, πολύ καλή η λύση σου - το ίδιο σκέφτηκα, αλλά είχα μπλέξει με το λάθος πρόσημο και το παράτησα.
Μια παρατήρηση:
$\displaystyle \tan{(a+b)}=\frac{\tan{a}+\tan{b}}{1-\tan{a}\cdot \tan{b}}=\frac{-p}{1+q}$
οπότε:
$\displaystyle \frac{\sin{(a+b)}}{\cos{(a+b)}}=\frac{-p}{1+q}$
Άρα
$(1+q)\sin{(a+b)}+p\cos{(a+b)}=0$
και έτσι
$E=\sin^2{(a+b)} = ....$

Και μία ακόμα...
ποιο είναι το μεταβλητό στην παράσταση ώστε να ζητήσουμε η παράσταση να είναι σταθερή;
Απάντηση: αφού $\tan{a}, \tan{b}$ είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί το μόνο το οποίο μπορεί να μεταβάλλεται, στην παράσταση, είναι τα πρόσημα του $\sin{(a+b)}$ και του $\cos{(a+b)}$

Θα προτιμούσα το ζητούμενο να είναι να δειχθεί ότι η παράσταση είναι ίση με
$\displaystyle \frac{p^2}{(1+q)^2+p^2}$

Βάζω καινούργιο αρχείο λαμβάνοντας υπόψη την παρατήρηση του Κώστα η οποία συντομεύει κατά πολύ την άσκηση

Μάκης Χατζόπουλος · #9

k-ser έγραψε: ποιο είναι το μεταβλητό στην παράσταση ώστε να ζητήσουμε η παράσταση να είναι σταθερή;
Απάντηση: αφού $\tan{a}, \tan{b}$ είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί το μόνο το οποίο μπορεί να μεταβάλλεται, στην παράσταση, είναι τα πρόσημα του $\sin{(a+b)}$ και του $\cos{(a+b)}$

Θα προτιμούσα το ζητούμενο να είναι να δειχθεί ότι η παράσταση είναι ίση με
$\displaystyle \frac{p^2}{(1+q)^2+p^2}$

Θεώρησα (λανθασμένα) ότι τα a,b δεν είναι σταθερά, ενώ τα p,q είναι σταθερά. Ίσως η καλύτερη διατύπωση θα ήταν η εξής, να εκφράσετε τη παράσταση Ε συναρτήσει των p,q (όπως το διατυπώνει και ο mathfinder -με συγχωρείς δεν ξέρω το όνομα σου).

Και νιώθω άσχημα που σας ταλαιπώρησα με το λάθος πρόσημο, ξέρω ότι είναι εκνευριστικό να δίνετε λάθος η εκφώνηση. Αλλά αν ακολουθούσατε τα υποερωτήματα φαινόταν το σημείο που υπήρχε το λάθος...και για τιμωρία μου, την λύνω την άσκηση έτσι όπως την είχα στο μυαλό μου.

Μάκης Χατζόπουλος · #10

Άσκηση τριγωνομετρίας για Α τετράμηνο / Προτάθηκε από τον Χατζόπουλο Μάκη
Έστω εφα και εφβ οι ρίζες της εξίσωσης: $\displaystyle{{x^2} + px - q = 0}$ όπου p, q πραγματικές σταθερές
α) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\eta \mu \left( {\alpha + \beta } \right) = - p\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta }$
και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left( {\alpha + \beta } \right) = \left( {1 + q} \right)\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta }$
b) Να εκφράσετε την παράσταση $\displaystyle{{\rm A} = \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta }$ συναρτήσει των p, q
γ) Να εκφράσετε την παράσταση $\displaystyle{{\rm E} = \eta {\mu ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + \left( {1 + q} \right)\eta \mu \left( {\alpha + \beta } \right) + p\sigma \upsilon \nu \left( {\alpha + \beta } \right)}$ συναρτήσει των p, q .

Λύση
α) Από τους τύπους Vieta έχουμε:
$\displaystyle{\varepsilon \varphi \alpha + \varepsilon \varphi \beta = \frac{{ - p}}{1} \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu \alpha }}{{\sigma \upsilon \nu \alpha }} + \frac{{\eta \mu \beta }}{{\sigma \upsilon \nu \beta }} = - p \Leftrightarrow \eta \mu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta + \eta \mu \beta \sigma \upsilon \nu \alpha = - p\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \eta \mu \left( {\alpha + \beta } \right) = - p\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta \,\,\,\,(1)}$
Επίσης,
$\displaystyle{\varepsilon \varphi \alpha \cdot \varepsilon \varphi \beta = \frac{{ - q}}{1} \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu \alpha }}{{\sigma \upsilon \nu \alpha }} \cdot \frac{{\eta \mu \beta }}{{\sigma \upsilon \nu \beta }} = - q \Leftrightarrow \eta \mu \alpha \eta \mu \beta = - q\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow - \eta \mu \alpha \eta \mu \beta = q\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta - \eta \mu \alpha \eta \mu \beta = \sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta + q\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {\alpha + \beta } \right) = \left( {1 + q} \right)\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta \,\,\left( 2 \right)}$
β) Υψώνουμε στο τετράγωνο κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2) και τις προσθέτουμε, δηλαδή:
$\displaystyle{{\left( 1 \right)^2} + {\left( 2 \right)^2} \Rightarrow \eta {\mu ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + \sigma \upsilon {\nu ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) = {p^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta \, + {\left( {1 + q} \right)^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow 1 = \left( {{p^2} + {{\left( {1 + q} \right)}^2}} \right)\sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta \Leftrightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta = \frac{1}{{\left( {{p^2} + {{\left( {1 + q} \right)}^2}} \right)}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)}$
γ) Έχουμε,
$\displaystyle{{\rm E} = \eta {\mu ^2}\left( {\alpha + \beta } \right) + \left( {1 + q} \right)\eta \mu \left( {\alpha + \beta } \right) + p\sigma \upsilon \nu \left( {\alpha + \beta } \right)\mathop = \limits^{(1),(2),} {p^2}\sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha \sigma \upsilon {\nu ^2}\beta - \left( {1 + q} \right)p\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta + \left( {1 + q} \right)p\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta }$
$\displaystyle{\mathop = \limits^{(3)} {p^2} \cdot \frac{1}{{\left( {{p^2} + {{\left( {1 + q} \right)}^2}} \right)}}\, = \frac{{{p^2}}}{{\left( {{p^2} + {{\left( {1 + q} \right)}^2}} \right)}}\,}$

Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Re: Πανέμορφο θέμα τριγωνομετρίας για Διαγώνισμα Α τετραμήνου!

Μέλη σε σύνδεση