Ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης

Μάκης Χατζόπουλος · #1

Την άσκηση την βρήκα από το παλιό σχολικό βιβλίο Άλγεβρας Β΄ Λυκείου του Ν. Βαρουχάκης, Λ. Αδαμόπουλος, Χ. Γιαννίκος
Α. Μπέτσης, Δ. Νοταράς, Σ. Φωτόπουλος (έτσι για ναθυμόμαστε και τα παλιά) και την άλαξα ελαφρά...

Άσκηση 1
Έστω ρ μια ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 7x - 1 = 0}$ να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\left| p \right| < 13}$ όπου $\displaystyle{\left| {} \right|}$ απόλυτη τιμή του αριθμού ρ.

...συνεχίζω από το ίδιο βιβλίο

Άσκηση 2
Να προσδιορίσετε το λ ώστε η εξίσωση $\displaystyle{\lambda ^2 \chi ^4 - 4\left( {\lambda + 1} \right)\chi ^2 + 4 = 0\,\,\,,\lambda \ne 0}$ .Να έχει
i) δύο διπλές λύσεις ii) Τέσσερις ρίζες διαφορετικές ανά δύο

Σημείωση: Δεν σας θυμίζει μια άσκηση που είχε πέσει στον ΑΣΕΠ και μάλιστα δύο φορές;;

#2

Για την άσκηση 1: (Υπάρχει τυπογραφικό λάθος στην εξίσωση: x^4-3x^3+2x^2-7x-1=0

)

Αν $| \rho|\leq1$ τότε έχουμε το ζητούμενο.

Αν $| \rho|>1$ , τότε

$\rho^4-3\rho^3+2\rho^2-7\rho-1=0,$ , άρα

$|\rho|^4\leq3|\rho|^3+2|\rho|^2+7|\rho|+1$

και διαιρώντας με $|\rho|^3>0$ ,

$|\rho|\leq3+\frac{2}{|\rho|}+\frac{7}{|\rho|^2}+\frac{1}{|\rho|^3}$

και αφού $\frac{1}{|\rho|}<1$ , έχουμε,

$|\rho|<3+2+7+1=13.$

Σχόλιο:
Νέα άσκηση: (βελτίωση φράγματος)

Δείξτε ότι:
$|\rho|<8.$

Νίκος Κατσίπης

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Ok το διόρθωσα το λάθος!

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

Άσκηση 2
$\displaystyle{\Delta = 16(2\lambda + 1), - \frac{\beta }{\alpha } = \frac{{4(\lambda + 1)}}{{{\lambda ^2}}},\frac{\gamma }{\alpha } = \frac{4}{{{\lambda ^2}}}}$
i) $\displaystyle{(\Delta > 0, - \frac{\beta }{\alpha } > 0) \Rightarrow \lambda = - \frac{1}{2}}$ και επαληθεύουμε.
ii) $\displaystyle{(\Delta > 0,\frac{\gamma }{\alpha } > 0, - \frac{\beta }{\alpha } > 0) \Rightarrow \lambda > - \frac{1}{2}}$ και επαληθεύουμε.

Φιλικά Χρήστος

Ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης

Ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης

Re: Ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης

Re: Ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης

Re: Ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση