Για τις εξετάσεις...

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 11, 2013 8:27 pm

Καλησπέρα :logo:

Με αφορμή τις εξετάσεις που έρχονται ας φτιάξουμε μια τράπεζα θεμάτων με υποψήφια τέταρτα θέματα
που να αφορούν δύο τουλάχιστον κεφάλαια της ύλης και να έχουν τρία τουλάχιστον ερωτήματα.

Θέμα 1ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με \displaystyle{f(x)=ln\frac{1+x}{1-x},g(x)=f(\eta \mu x)}.

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g.

β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{g(x)=ln3}.

γ) Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{f(x)>ln7}.

δ) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{e^{f(x)}=\frac{x}{2(x^2-1)}+\frac{1}{x+1}}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από hlkampel » Σάβ Μάιος 11, 2013 11:52 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Θέμα 1ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με \displaystyle{f(x)=ln\frac{1+x}{1-x},g(x)=f(\eta \mu x)}.

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g.

β) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{g(x)=ln3}.

γ) Να λύσετε την ανίσωση \displaystyle{f(x)>ln7}.

δ) Να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{e^{f(x)}=\frac{x}{2(x^2-1)}+\frac{1}{x+1}}.


α) Για την f : Πρέπει x \ne 1 και \displaystyle\frac{{1 + x}}{{1 - x}} > 0 \Leftrightarrow \left( {1 + x} \right)\left( {1 - x} \right) > 0 \Leftrightarrow  - 1 < x < 1

Οπότε {D_f} = \left( { - 1,1} \right)

Για την x \in R g : Πρέπει και \eta \mu x \in {D_f} \Leftrightarrow  - 1 < \eta \mu x < 1 \Leftrightarrow x \ne \kappa \pi  + \frac{\pi }{2} , \kappa  \in {\rm Z}

Οπότε {D_g} = R - \left\{ {x \in R/x \ne \kappa \pi  + \frac{\pi }{2},\kappa  \in {\rm Z}} \right\}

β) \displaystyle g\left( x \right) = \ln 3 \Rightarrow f\left( {\eta \mu x} \right) = \ln 3 \Leftrightarrow \ln \frac{{1 + \eta \mu x}}{{1 - \eta \mu x}} = \ln 3 \Rightarrow

\displaystyle{\frac{{1 + \eta \mu x}}{{1 - \eta \mu x}} = 3 \Rightarrow 1 + \eta \mu x = 3 - 3\eta \mu x \Rightarrow \eta \mu x = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\lambda \pi  + \frac{\pi }{6}\\
x = 2\lambda \pi  + \frac{{5\pi }}{6}
\end{array} \right.,\lambda  \in Z} δεκτές

γ) \displaystyle f\left( x \right) > \ln 7\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ - 1 < x < 1} \frac{{1 + x}}{{1 - x}} > 7\mathop  \Leftrightarrow \limits^{1 - x > 0} 1 + x > 7 - 7x \Leftrightarrow x > \frac{3}{4}

Άρα \displaystyle x \in \left( {\frac{3}{4},1} \right)

δ) Η εξίσωση με - 1 < x < 1 γίνεται:

\displaystyle {e^{\ln \frac{{1 + x}}{{1 - x}}}} = \frac{x}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow

\displaystyle\frac{{1 + x}}{{1 - x}} = \frac{{ - x}}{{2\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow

2{\left( {1 + x} \right)^2} =  - x + 2\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow

2 + 4x + 2{x^2} =  - x + 2 - 2x \Leftrightarrow

2{x^2} + 7x = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\dot \eta \;x =  - \frac{7}{2}

Δεκτή μόνο η x = 0

Edit: Έγινε διόρθωση αριθμητικού λάθους στο δ ερώτημα. Ευχαριστώ τον Θανάση (KARKAR) για την ειδοποίηση.
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Μάιος 12, 2013 12:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 929
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από hlkampel » Κυρ Μάιος 12, 2013 11:56 am

Θέμα 2ο

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f\left( x \right) = {\left( {\frac{{3 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} \right)^x} .

α. Να βρεθούν οι τιμές του \alpha  \in R ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται για κάθε x \in R.

β. Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του \alpha  \in R ώστε η συνάρτηση f να είναι εκθετική συνάρτηση.

γ. Αν \alpha  = 0, να λυθούν οι εξισώσεις:

i. 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} - 5{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - 6f\left( x \right) + 9 = 0

ii. \displaystyle f\left( {\sigma \upsilon \nu x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Δευ Μάιος 13, 2013 10:19 pm

hlkampel έγραψε:Θέμα 2ο

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f\left( x \right) = {\left( {\frac{{3 + \alpha }}{{1 - \alpha }}} \right)^x} .

α. Να βρεθούν οι τιμές του \alpha  \in R ώστε η συνάρτηση f να ορίζεται για κάθε x \in R.

β. Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του \alpha  \in R ώστε η συνάρτηση f να είναι εκθετική συνάρτηση.

γ. Αν \alpha  = 0, να λυθούν οι εξισώσεις:

i. 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} - 5{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - 6f\left( x \right) + 9 = 0

ii. \displaystyle f\left( {\sigma \upsilon \nu x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}


α. Πρέπει να ισχύουν: \displaystyle{1-a \neq 0, \frac{3+a}{1-a} > 0 \Leftrightarrow -3<a<1 (I)}.

β. Πρέπει επιπλεόν να ισχύει: \displaystyle{ \frac{3+a}{1-a}\neq 1 \Leftrightarrow a\neq-1 (II)}.

Από τις (I),(II) οι ακέραιες τιμές του a είναι a=-2 ή a=0.

γ. Για a=0 έχουμε ότι: \displaystyle{f(x)=3^x}.

i) Η εξίσωση είναι η: \displaystyle{2(3^x)^3-5(3^x)^2-6(3^x)+9=0 (III)}.

Θέτουμε w=3^x στην (III) και βρίσκουμε ότι: 2w^3-5w^2-6w+9=0,

όπου προφανής ρίζα είναι το 1 και με τη βοήθεια του σχήματος Horner βρίσκουμε ότι:

\displaystyle{(w-1)(2w^2-3w-9)=0 \Leftrightarrow (w-1)(w-3)(2w+3)=0 \Leftrightarrow}

\Leftrightarrow w=1 ή w=3 ή \displaystyle{w=-\frac{3}{2}} (απορρίπτεται) \Leftrightarrow3^x=1 ή 3^x=3 \Leftrightarrow x=0 ή x=1.

ii) Η εξίσωση είναι η: \displaystyle{3^{\sigma \upsilon \nu x}=3^{-\frac{1}{2}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow}

\displaystyle{\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=\sigma \upsilon \nu \frac{2\pi}{3} \Leftrightarrow x=2k\pi \pm \frac{2 \pi}{3},k\in \mathbb{Z}}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες