Επίθεση στις άρρητες 2

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[4]{{x + 4}} - \sqrt[4]{{13 - x}} = 1}$ .

#2

Μια λύση:

Για $\displaystyle{x\in [-4,13]}$ θέτουμε $\displaystyle{a=\sqrt[4]{x+4},\quad b=\sqrt[4]{13-x}.}$

Τότε, είναι $\displaystyle{a-b=1,\quad a^4+b^4=17.}$

Έχουμε

$\displaystyle{a-b=1\implies a^2+b^2=1+2ab\implies a^4+b^4+2(ab)^2=4(ab)^2+4ab+1\implies (ab)^2+2(ab)-8=0\implies ab=2,}$ αφού $\displaystyle{ab\geq 0.}$

Τότε, είναι $\displaystyle{a-b=1,\quad \wedge ab=2\implies a=2,b=1,}$ οπότε προκύπτει $\displaystyle{x=12,}$ η οποία ικανοποιεί την αρχική εξίσωση.

kostas_zervos · #3

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[4]{{x + 4}} - \sqrt[4]{{13 - x}} = 1}$ .

Μια άλλη λύση.

Πρέπει $-1\leq x\leq 13$ .

Για x=12

έχουμε $\sqrt[4]{12+4}-\sqrt[4]{13-12}=1\iff 1=1$ , άρα το x=1

είναι λύση.

Για $12<x\leq 13$ έχουμε $x+4>16 \Rightarrow \sqrt[4]{x+4}>\sqrt[4]{16} \Rightarrow \sqrt[4]{x+4}>2$ και

$12<x\leq 13\Rightarrow -13\leq -x<-12 \Rightarrow 0\leq 13-x<13-12 \Rightarrow$
$\Rightarrow\sqrt[4]{13-x}<\sqrt[4]{1} \Rightarrow -\sqrt[4]{13-x}>-1$ .

Άρα $\sqrt[4]{x+4}-\sqrt[4]{13-χ}>2-1=1$ , έτσι δεν έχει λύση στο (12,13]

.

Για $-4\leq x<12$ έχουμε $0\leq x+4<16 \Righrarrow \sqrt[4]{x+4}<\sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x+4}<2$ και

$-4\leq x<12\Rightarrow -x>-12 \Rightarrow 13-x>13-12 \Rightarrow$
$\Rightarrow \sqrt[4]{13-x}>\sqrt[4]{1} \Rightarrow -\sqrt[4]{13-x}<-1$ .

Άρα $\sqrt[4]{x+4}-\sqrt[4]{13-x}<2-1=1$ , έτσι δεν έχει λύση στο [-4,12)

.

Άρα το x=12

είναι μοναδική λύση.

Επίθεση στις άρρητες 2

Επίθεση στις άρρητες 2

Re: Επίθεση στις άρρητες 2

Re: Επίθεση στις άρρητες 2

Μέλη σε σύνδεση