Επίθεση στις άρρητες 6

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{{x^3} + x\sqrt x - x - \sqrt x - 66 = 0}$ .

#2

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{{x^3} + x\sqrt x - x - \sqrt x - 66 = 0}$ .

Θέτοντας $\displaystyle{\sqrt{x}=a\geq 0,}$ η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{a^6+a^3-a^2-a-66=0 \iff (a-2)(a^5+2a^4+4a^3+9a^2+17a+33)=0\iff a=2,}$ αφού $\displaystyle{a\geq 0.}$

Άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η $\displaystyle{x=4.}$

Σ. Διονύσης · #3

Μια λύση εκτός φακέλου:

Θέτουμε $\sqrt{x}=a\geq 0$ και αρχικά τη λύνουμε στους ακεραίους.

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{a^6+a^3-a^2-a-66=0}$

$\displaystyle{a(a^5+a^2-a-1)=2\cdot 3\cdot 11}$

και με Horner στην τελευταία με το

:

$\displaystyle{a(a-1)(a^4+a^3+a^2+2a+1)=2\cdot 3\cdot 11}$

Και πάλι Horner με το

:

$\displaystyle{a(a-1)(a+1)(a^3+a+1)=1\cdot 2\cdot 3\cdot 11}$

Στη τελευταία έχουμε

όρους στο αριστερό μέλος και έναν αριθμό στο δεξύ μέλος αναλυμένο σε ισάριθμο γινόμενο πρώτων παραγόντων με τους όρους του

ου μέλους.

Επιπλέον επειδή $\displaystyle{a-1<a<a+1<a^3+a+1}$ και οι παράγοντες $\displaystyle{a^3+a+1>a+1>a>0}$ θα πρέπει τελικά και ο παράγοντας $\displaystyle{a-1>0}$ με:

$\begin{cases}a-1=1 \\ a=2 \\ a+1=3 \\ a^3+a+1=11\end{cases}\Rightarrow a=2\Longleftrightarrow x=4$ που επαληθεύει την αρχική.

Θα δείξουμε τώρα ότι η λύση είναι και η μοναδική.

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(a)=a^6+a^3-a^2-a-66 \; , \; a>1}$

Θα τη μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία της για a>1

αφού όπως προκύπτει από τα παραπάνω η ρίζα της θα είναι όταν $\displaystyle{a>1}$

Παραγωγίζοντάς την πάιρνουμε:

$\displaystyle{f'(a)=6a^5+3a^2-2a-1 \; , \; a>1}$

και για a>1

ισχύει

και επομένως:

f'(a)=6a^5+3a^2-2a-1>6a^5+a-1>0

Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα και άρα θα έχει το πολύ μια ρίζα με μοναδική τελικά την $a=2\Longleftrightarrow x=4$

Φιλικά,
Διονύσης

Σημείωση: Δε νομίζω να υπάρχει πρόβλημα με το ότι η f(a)

είναι σύνθετη αφού και η $g(x)=\sqrt{x}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Έγινε διόρθωση της λύσης με τα μπλε.

#4

Σ. Διονύσης έγραψε:...

Στη τελευταία έχουμε όρους στο αριστερό μέλος και έναν αριθμό στο δεξύ μέλος αναλυμένο σε ισάριθμο γινόμενο πρώτων παραγόντων με τους όρους του ου μέλους.

Επιπλέον επειδή $\displaystyle{a-1<a<a^3+a+1}$ και οι παράγοντες $\displaystyle{a^3+a+1>a+1>a>0}$ θα πρέπει τελικά και ο παράγοντας $\displaystyle{a-1>0}$ με:

Διονύση, ο ισχυρισμός δεν είναι πλήρης. Εκ των προτέρων δε γνωρίζουμε ότι η εξίσωση έχει μόνο ακέραιες ρίζες.

Σ. Διονύσης · #5

matha έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:...

Στη τελευταία έχουμε όρους στο αριστερό μέλος και έναν αριθμό στο δεξύ μέλος αναλυμένο σε ισάριθμο γινόμενο πρώτων παραγόντων με τους όρους του ου μέλους.

Επιπλέον επειδή $\displaystyle{a-1<a<a^3+a+1}$ και οι παράγοντες $\displaystyle{a^3+a+1>a+1>a>0}$ θα πρέπει τελικά και ο παράγοντας $\displaystyle{a-1>0}$ με:
Διονύση, ο ισχυρισμός δεν είναι πλήρης. Εκ των προτέρων δε γνωρίζουμε ότι η εξίσωση έχει μόνο ακέραιες ρίζες.

Eφόσον α σύνθετος αριθμός

$\displaystyle{a^6+a^3-a^2-a}$

αναλύθηκε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων οι κάθε όροι του σύνθετου αριθμού θα πρέπει να είναι ίσοι με αυτούς.Η εξήγησή μου δεν είναι καλή, αν θέλετε κοιτάξτε το σχολικό βιβλιο της κατεύθυνσης Β' λυκείου, κεφάλαιο "Θεωρία αριθμών", παράγραφος 4.5

, σελ.

, θεώρημα 9 και ασκήσεις Α3 και Β7 σελ 169

και

αντίστοιχα.

#6

Μάλλον δε έγινε κατανοητό αυτό που είπα.

Για να σταθεί ο ισχυρισμός σου περί ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες κ.τ.λ. πρέπει να αναφερόμαστε στους ακεραίους, κάτι το οποίο δε συμβαίνει στην άσκηση αυτή. Η εξίσωση αυτή τυχαίνει να έχει ακέραια λύση (αυτή που βρήκες), αλλά πώς συμπεραίνεις ότι δεν έχει και άλλες;

Σ. Διονύσης · #7

Ναι, εχετε απόλυτο δίκιο.Ξέχασα ότι δε μιλάμε μόνο για ακεραίους.Διορθώνω τη λύση, αν και δεν έχει πλέον νόημα αφού γίνεται μεγάλη...

Επίθεση στις άρρητες 6

Επίθεση στις άρρητες 6

Re: Επίθεση στις άρρητες 6

Re: Επίθεση στις άρρητες 6

Re: Επίθεση στις άρρητες 6

Re: Επίθεση στις άρρητες 6

Re: Επίθεση στις άρρητες 6

Re: Επίθεση στις άρρητες 6

Μέλη σε σύνδεση