Επίθεση στις άρρητες 7

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{2\sqrt {{x^2} - 4x + 13} + \sqrt {x - 2} = 6}$ .

#2

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{2\sqrt {{x^2} - 4x + 13} + \sqrt {x - 2} = 6}$ .

Για $x\geq 2$ είναι

$2\sqrt{x^2-4x+13}+\sqrt{x-2}=2\sqrt{(x-2)^2+9}+\sqrt{x-2}\geq 2\sqrt{9}=6$ ,

με το "=" αν και μόνο αν x=2

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Είναι για $x\ge 2$ :

$\displaystyle{{x^2} - 4x + 13 \ge 9 \Leftrightarrow 2 \sqrt {{x^2} - 4x + 13} \ge 6 (1)}$ (Η ισότητα λαμβάνεται για x=2

) και επιπλέον: $\displaystyle{x \ge 2 \Leftrightarrow x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} \ge 0 (2)}$

με την ισότητα για x=2.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1),(2)

έχω: $\displaystyle{2 \sqrt {{x^2} - 4x + 13} + \sqrt {x - 2} \ge 6}$ με την ισότητα να ισχύει μόνον αν x=2.

Το

αποτελεί τη μοναδική λύση της εξίσωσης αφού επαληθεύει.