Επίθεση στις άρρητες 12

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση: $\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{x - 9}} = \sqrt[3]{{3\left( {2x - 11} \right)}}$ .

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα. Θα κάνω επίθεση έχοντας στο πλευρό μου τον $\displaystyle{Euler}$

Λύση

Έστω $\displaystyle{x}$ μια λύση της δοσμένης εξίσωσης. Τότε, $\displaystyle{x\geq 9}$ και

$\displaystyle{\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x-9}=\sqrt[3]{3\left(2\,x-11\right)}\Rightarrow \sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{x-9}+\left[-\sqrt[3]{3\left(2\,x-11\right)}\right]=0}$

Συνεπώς, από την ταυτότητα του $\displaystyle{Euler}$ , προκύπτει,

$\displaystyle{ x-2+x-9-3\left(x-2+x-9\right)=-3\,\sqrt[3]{3}\,\sqrt[3]{x-2}\,\sqrt[3]{x-9}\,\sqrt[3]{(x-2)+(x-9)}}$

$\displaystyle{\Rightarrow 2\left[\left(x-2\right)+\left(x-9\right)\right]=3\,\sqrt[3]{3}\,\sqrt[3]{x-2}\,\sqrt[3]{x-9}\,\sqrt[3]{(x-2)+(x-9)}}$

$\displaystyle{\Rightarrow 8\left[\left(x-2\right)^3+\left(x-9\right)^3+3\left(x-2\right)^2\left(x-9\right)+3\left(x-2\right)\left(x-9\right)^2\right]=81\,\left(x-2\right)\left(x-9\right)\left[\left(x-2\right)+\left(x-9\right)\right]}$

$\displaystyle{\Rightarrow 8\left[\left(x-2\right)^3+\left(x-9\right)^3\right]-57\left(x-2\right)^2\left(x-9\right)-57\left(x-2\right)\left(x-9\right)^3=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow 8\left[\left(x-2\right)+\left(x-9\right)\right]\left[\left(x-2\right)^2-\left(x-2\right)\left(x-9\right)+\left(x-9\right_^2\right]-57\left(x-2\right)\left(x-9\right)\left[\left(x-2\right)+\left(x-9\right)\right]=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \left(2\,x-11\right)\left(8\,x^2-32\,x+32+8\,x^2-144\,x+648-65\,x^2+715\,x-1170\right)=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \left(2\,x-11\right)\left(49\,x^2-539\,x+490\right)=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow \left(2\,x-11\right)\left(7\,x-70\right)\left(7\,x-7\right)=0}$

$\displaystyle{\Rightarrow x=\frac{11}{2}\ \lor\,\,x=10\ \lor\,\,x=1}$

Δεκτή είναι μόνο η τιμή $\displaystyle{x=10}$ που επαληθεύει και άρα είναι η μοναδική λύση της αρχικής εξίσωσης.

edit:Προσθήκη περιορισμού

Επίθεση στις άρρητες 12

Επίθεση στις άρρητες 12

Re: Επίθεση στις άρρητες 12

Μέλη σε σύνδεση