Επίθεση στις άρρητες 13

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {2{x^2} + 2 - 2x\sqrt {{x^2} + 1} } - \sqrt {{x^2} + 1} + x + 1 = \sqrt 2 }$ .

Ιστοσελίδα · #2

Είναι $2x^2+2-2x\sqrt{x^2+1}=\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)^2+1>0 .$

Θέτουμε $y=\sqrt{x^2+1}-x$ και η εξίσωση γράφεται:

$\sqrt{y^2+1}-y+1=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{y^2+1}=y+\sqrt{2}-1 \; \color{red}(\bigstar)}$

Η εξίσωση αυτή ορίζεται αν και μόνο αν $y+\sqrt{2}-1\geq 0 \Leftrightarrow y\geq 1-\sqrt{2} .$

$\color{red}(\bigstar)}$ $\Leftrightarrow y^2+1=y^2+2(\sqrt{2}-1)y+(\sqrt{2}-1)^2 \Leftrightarrow$

$-2(\sqrt{2}-1)y = (\sqrt{2}-1)^2-1 \Leftrightarrow -2(\sqrt{2}-1)y = (\sqrt{2}-1+1)(\sqrt{2}-1-1) \Leftrightarrow$

$y=\dfrac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{2(\sqrt{2}-1)} = \dfrac{2(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=1 .$

Τότε $\sqrt{x^2+1}-x=1 \Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=x+1$ η οποία ορίζεται αν και μόνο αν $x\geq -1 .$

Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε ισοδύναμα: $x^2+1=x^2+2x+1 \Leftrightarrow x=0 .$

mathxl · #3

Ουσιαστικά , όλα τα λεφτά είναι η παρατήρηση της πρώτης γραμμής του Στράτη.
Δηλαδή είναι :
$\displaystyle{\sqrt {2{x^2} + 2 - 2x\sqrt {{x^2} + 1} } - \sqrt {{x^2} + 1} + x + 1 = \sqrt 2 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}^2} + 1} - \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( 1 \right)}$ , όπου $\displaystyle{{f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1} - x}}$ με $\displaystyle{x \in R}$ .
Η

είναι γνησίως φθίνουσα (καλή άσκηση για β λυκείου) και με τον γνωστό τρόπο (όχι 1-1 αλλά χρήση μονοτονίας) καταλήγουμε
$\displaystyle{f\left( x \right) = 1 = f\left( 0 \right)}$ και λειτουργούμε ξανά όμοια...

Λιγότερο κομψός τρόπος όμως με αρκετά διδακτικά οφέλη.

Επίθεση στις άρρητες 13

Επίθεση στις άρρητες 13

Re: Επίθεση στις άρρητες 13

Re: Επίθεση στις άρρητες 13

Μέλη σε σύνδεση