Επίθεση στις άρρητες 14

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 3x + 2} - \sqrt {{x^2} + x - 2} = \sqrt {{x^2} - x} }$ .

BAGGP93 · #2

Λύση

$\displaystyle{x^2-3x+2\geq 0\Leftrightarrow \left(x-1\right)\left(x-2\right)\geq 0\Leftrightarrow x\in\left(-\infty,1\right]\cup\left[2,+\infty\right)}$

$\displaystyle{x^2+x-2\geq 0\Leftrightarrow \left(x-1\right)\left(x+2\right)\geq 0\Leftrightarrow x\in\left(-\infty,-2\right]\cup\left[1,+\infty\right)$

$\displaystyle{x^2-x\geq 0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\geq 0\Leftrightarrow x\in\left(-\infty,0\right]\cup\left[1,+\infty\right)}$

Συναληθεύοντας, βρίσκουμε $\displaystyle{x\in A=\left(-\infty,-2\right]\cup\left[2,+\infty\right)\cup\left\{1\right\}}$

Έστω $\displaystyle{x\in A}$ ,θα πρέπει επίσης να ισχύει,

$\displaystyle{\sqrt{x^2-3x+2}\geq \sqrt{x^2+x-2}\Leftrightarrow x^2-3x+2\geq x^2+x-2\Leftrightarrow -4x\geq -4\Leftrightarrow x\leq 1}$

Τελικά, το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι το $\displaystyle{B=\left(-\infty,-2\right]\cup\left\{1\right\}}$

Έστω $\displaystyle{x\in B}$ μια λύση της εξίσωσης, οπότε,

$\displaystyle{\sqrt{x^2-3x+2}-\sqrt{x^2+x-2}=\sqrt{x^2-x}\Rightarrow \sqrt{1-x}\left[\sqrt{2-x}-\sqrt{-2-x}-\sqrt{-x}\right]=0}$ , έτσι,

$\displaystyle{\sqrt{1-x}=0\ \lor\,\, \sqrt{2-x}-\sqrt{-2-x}=\sqrt{-x}}$

Είναι, $\displaystyle{\sqrt{1-x}=0\Leftrightarrow 1-x=0\Leftrightarrow x=1}$

Για την δεύτερη εξίσωση παρατηρούμε ότι δεν επαληθεύεται από το $\displaystyle{x=1}$ και

$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{2-x}-\sqrt{-2-x}=\sqrt{-x}&\Rightarrow 2-x+(-2-x)-2\sqrt{(2-x)(-2-x)}=-x\\&\Rightarrow x=-2\sqrt{x^2-4}\\&\Rightarrow x^2=4x^2-16\\&\Rightarrow 3x^2=16\\&\Rightarrow x=-\frac{4}{\sqrt{3}}<-2\end{aligned}}$

διότι $\displaystyle{-\frac{4}{\sqrt{3}}<-2\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{3}}>2\Leftrightarrow 4>2\sqrt{3}\Leftrightarrow 16>12}$ , που ισχύει.

Οι μοναδικές λύσεις της αρχικής εξίσωσης δίνονται από το σύνολο $\displaystyle{\left\{-\frac{4}{\sqrt{3}},1\right\}}$

διότι την επαληθεύουν.

#3

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 3x + 2} - \sqrt {{x^2} + x - 2} = \sqrt {{x^2} - x} }$ .

Η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\sqrt{(x-1)(x-2)}-\sqrt{(x-1)(x+2)}=\sqrt{x(x-1)}}$ , όπου βρίσκοντας περιορισμούς, πρέπει $\displaystyle{x\in (-\propto , -2]U[2,+\propto )}$

Άρα έχουμε: $\displaystyle{\sqrt{|x-1||x-2|}-\sqrt{|x-1||x+2|}=\sqrt{|x||x-1|}\Leftyrightarrow}$

$\displaystyle{\sqrt{|x-1|}(\sqrt{|x-2|}-\sqrt{|x+2|})=\sqrt{|x-1|}\sqrt{|x|}}$ , (1)

Μια προφανής λύση είναι η $\displaystyle{x=1}$ . Ενώ με $\displaystyle{x\neq 1}$ η εξίσωση (1) ισοδύναμα (λόγω και των περιορισμών) γράφεται:

$\displaystyle{\sqrt{|x-2|}-\sqrt|x+2|}=\sqrt{|x}|}$ , (2)

Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x\leq -2}$

Τότε η (2) ισοδύναμα γράφεται: $\displaystyle{-x+2=-x-2-x+2\sqrt{-x}\sqrt{-x-2}\Leftrightarrow x+4 =2\sqrt{-x}\sqrt{-x-2}}$ . Άρα

πρέπει $\displaystyle{x+4\geq 0\Leftrightarrow x\geq -4}$ , δηλαδή τελικά έχουμε $\displaystyle{-4\leq x\leq -2}$

Τότε έχουμε $\displaystyle{x^2 +8x+16=4(-x)(-x-2)\Leftrightarrow x^2 =\frac{16}{3}}$ και λόγω των περιορισμών, δεκτή είναι η

λύση $\displaystyle{x=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x\geq 2}$

Τότε η (2) γράφεται: $\displaystyle{x-2 =x+2+x+2\sqrt{x}\sqrt{x+2}\Leftrightarrow -x-2=2\sqrt{x}\sqrt{x+2}}$ , η οποία όμως είναι

αδύνατη, αφού το πρώτο της μέλος είναι αρνητικό ενώ το δεύτερο θετικό.

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 3x + 2} - \sqrt {{x^2} + x - 2} = \sqrt {{x^2} - x} }$ .
Η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\sqrt{(x-1)(x-2)}-\sqrt{(x-1)(x+2)}=\sqrt{x(x-1)}}$ , όπου βρίσκοντας περιορισμούς, πρέπει

$\displaystyle{x\in (-\propto , -2]U[2,+\propto )U\{1\}}$

Άρα έχουμε: $\displaystyle{\sqrt{|x-1||x-2|}-\sqrt{|x-1||x+2|}=\sqrt{|x||x-1|}\Leftyrightarrow}$

$\displaystyle{\sqrt{|x-1|}(\sqrt{|x-2|}-\sqrt{|x+2|})=\sqrt{|x-1|}\sqrt{|x|}}$ , (1)

Μια προφανής λύση είναι η $\displaystyle{x=1}$ . Ενώ με $\displaystyle{x\neq 1}$ η εξίσωση (1) ισοδύναμα (λόγω και των περιορισμών) γράφεται:

$\displaystyle{\sqrt{|x-2|}-\sqrt|x+2|}=\sqrt{|x}|}$ , (2)

Θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x\leq -2}$

Τότε η (2) ισοδύναμα γράφεται: $\displaystyle{-x+2=-x-2-x+2\sqrt{-x}\sqrt{-x-2}\Leftrightarrow x+4 =2\sqrt{-x}\sqrt{-x-2}}$ . Άρα

πρέπει $\displaystyle{x+4\geq 0\Leftrightarrow x\geq -4}$ , δηλαδή τελικά έχουμε $\displaystyle{-4\leq x\leq -2}$

Τότε έχουμε $\displaystyle{x^2 +8x+16=4(-x)(-x-2)\Leftrightarrow x^2 =\frac{16}{3}}$ και λόγω των περιορισμών, δεκτή είναι η

λύση $\displaystyle{x=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x\geq 2}$

Τότε η (2) γράφεται: $\displaystyle{x-2 =x+2+x+2\sqrt{x}\sqrt{x+2}\Leftrightarrow -x-2=2\sqrt{x}\sqrt{x+2}}$ , η οποία όμως είναι

αδύνατη, αφού το πρώτο της μέλος είναι αρνητικό ενώ το δεύτερο θετικό.

Επίθεση στις άρρητες 14

Επίθεση στις άρρητες 14

Re: Επίθεση στις άρρητες 14

Re: Επίθεση στις άρρητες 14

Re: Επίθεση στις άρρητες 14

Μέλη σε σύνδεση