ΣΥΣΤΗΜΑ 9

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = z + 3\\ {y^2} + {z^2} = x + 3\\ {z^2} + {x^2} = y + 3\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

#2

$\displaystyle{\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = z + 3 \\ {y^2} + {z^2} = x + 3 \\ {z^2} + {x^2} = y + 3 \\ \end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}} {(1)} \\ {(2)} \\ {(3)} \\ \end{array} \\ (1) - (2) \Rightarrow (x - z)(x + z + 1) = 0 \Leftrightarrow (x - z) = 0 \vee (x + z + 1) = 0 \Leftrightarrow x = z \vee z = - x - 1 \\ (2) - (3) \Rightarrow (y - x)(y + x + 1) = 0 \Leftrightarrow (y - x) = 0 \vee (y + x + 1) = 0 \Leftrightarrow y = x \vee y = - x - 1 \\ \end{array}}$
α) Αν $\displaystyle{\,\,\,\,\,x = y = z\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 2{x^2} - x - 3 = 0 \Rightarrow x = y = z = \frac{3}{2} \vee x = y = z = - 1}$
β) Αν
$\displaystyle{\begin{array}{l} \,\,\,\,z = x \wedge y = - x - 1\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {x^2} + {x^2} + 2x + 1 = x + 3 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{4}, \\ \,\,\,\,z = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{4},y = - 1 - \frac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{4} \\ \end{array}}$
γ) Αν
$\displaystyle{\begin{array}{l} z = - x - 1 \wedge y = - x - 1\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {x^2} + {x^2} + 2x + 1 = - x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {17} }}{4}, \\ \,\,\, \\ \,\,\,z = - \frac{{ - 3 \pm \sqrt {17} }}{4} - 1\,\,\,,\,\,\,y = - 1 - \frac{{ - 3 \pm \sqrt {17} }}{4} \\ \end{array}}$
δ) Αν
$\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} z=-x-1 \\ y=x \\ \end{matrix} \right.\overset{(1)}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{x}^{2}}+{{x}^{2}}=-x+2\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-2=0$
$\displaystyle{\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4},y=x=-\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4},z=-1-\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}=-\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}}}$
οπότε $\displaystyle{\left( x,y,z \right)=\left( \frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{-3-\sqrt{17}}{4} \right)}$ ή $\displaystyle{\left( \frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{-3+\sqrt{17}}{4} \right)}$

Σε κάθε περίπτωση οι λύσεις επαληθεύουν το αρχικό σύστημα

Edit : Συμπληρώθηκε το (δ) που ξεχάστηκε ( ευχαριστώ Parmenides )

#3

Είναι

Αν

τότε

Η

είναι τριώνυμο, άρα λαμβάνει κάθε τιμή το πολύ δύο φορές. Άρα δύο τουλάχιστον από τους x,y,z

είναι ίσοι.
Για τη συνέχεια υποθέτουμε ότι y=z.

Τότε το σύστημα γίνεται

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = y + 3\\ {2y^2} = x + 3\\ \end{array} \right.}$

Αφαιρούμε κατά μέλη οπότε $\left( x-y\right)\left(x+y+1 \right)=0,$ δηλαδή x=y

ή

$\bullet$ Αν x=y

τότε

οπότε $\left(x,y,z \right)=\left(-1,-1,-1 \right)$ ή $\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2} \right).$
$\bullet$ Αν x=-y-1

τότε

οπότε $y=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{4}$ και $\left(x,y,z \right)=\left(-\dfrac{3+\sqrt{17}}{4},\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4},\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4} \right)$ ή $\left(x,y,z \right)=\left(\dfrac{-3+\sqrt{17}}{4},\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4},\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4} \right)$ καθώς και όλες οι μεταθέσεις τους.

parmenides51 · #4

παρόμοιες

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}x² + y² = 2z \\ y² + z² = 2x \\ z² + x² = 2y \end{cases}}$

εδώ

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 548

Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^2 - y = z^2 \\ y^2- z = x^2 \\ z^2- x = y^2 \end{cases}}$

λύσεις εδώ , εδώ κι εδώ

parmenides51 · #5

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Είναι
Αν τότε Η είναι τριώνυμο, άρα λαμβάνει κάθε τιμή το πολύ δύο φορές. Άρα δύο τουλάχιστον από τους είναι ίσοι.
Για τη συνέχεια υποθέτουμε ότι Τότε το σύστημα γίνεται

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = y + 3\\ {2y^2} = x + 3\\ \end{array} \right.}$

Αφαιρούμε κατά μέλη οπότε $\left( x-y\right)\left(x+y+1 \right)=0,$ δηλαδή ή
$\bullet$ Αν τότε οπότε $\left(x,y,z \right)=\left(-1,-1,-1 \right)$ ή $\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2} \right).$
$\bullet$ Αν τότε οπότε $y=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{4}$ και $\left(x,y,z \right)=\left(-\dfrac{3+\sqrt{17}}{4},\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4},\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4} \right)$ ή $\left(x,y,z \right)=\left(\dfrac{-3+\sqrt{17}}{4},\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4},\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4} \right)$ καθώς και όλες οι μεταθέσεις τους.

ωραία λύση, ιδιαίτερα η εκκίνηση

ΣΥΣΤΗΜΑ 9

ΣΥΣΤΗΜΑ 9

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 9

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 9

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 9

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 9

Μέλη σε σύνδεση