ΣΥΣΤΗΜΑ 11 (Από βιβλίο του ΖΟΥΡΝΑ)

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\\ {z^2} + {t^2} = 1\\ xz + yt = 0\\ \left( {2x + z} \right)\left( {2y + t} \right) = 2\\ \left( {x,y,z,t \in \mathbb R} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

Edit από Γενικούς Συντονιστές.

hsiodos · #2

$\displaystyle{ {\begin{array}{*{20}c} {x^2 + y^2 = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)} \\ {z^2 + t^2 = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)} \\ {xz + yt = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)} \\ {\left( {2x + z} \right)\left( {2y + t} \right) = 2\,\,\,\,\,(4)} \\ \end{array}}}$

$\displaystyle{ \bullet \,\,\alpha \nu \,\,\,y = 0\,\,(o\mu o\iota \alpha \,\,\,\alpha \nu \,\,\,z = 0)\,\,}$ $\displaystyle{ (1) \Rightarrow x = \pm 1\,\,\,,\,\,\,\,(3) \Rightarrow z = 0,\,\,\,(2) \Rightarrow t = \pm 1\,\,\,,\,\,\,(4) \Rightarrow x = t = 1\,\,\,\,\eta \,\,\,\,x = t = - 1\,}$

$\displaystyle{ \bullet \,\,\alpha \nu \,\,\,x = 0\,\,(o\mu o\iota \alpha \,\,\,\alpha \nu \,\,\,t = 0)\,}$ $\displaystyle{ (1) \Rightarrow y = \pm 1\,\,\,,\,\,\,\,(3) \Rightarrow t = 0,\,\,\,(2) \Rightarrow z = \pm 1\,\,\,,\,\,\,(4) \Rightarrow y = z = 1\,\,\,\,\eta \,\,\,\,y = z = - 1\,}$

$\displaystyle{ \bullet \,\,\alpha \nu \,\,\,xyzt \ne 0}$

$\displaystyle{ 3) \Rightarrow x = - \frac{{yt}}{z}\,\,\,(5)\,\,\,\,}$

$\displaystyle{ (1)\mathop \Rightarrow \limits^{(5)} \frac{{y^2 t^2 }}{{z^2 }} + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 t^2 + y^2 z^2 = z^2 \Rightarrow y^2 (t^2 + z^2 ) = z^2 \mathop \Rightarrow \limits^{(2)} y^2 = z^2 \Rightarrow y = \pm z}$

$\displaystyle{ * \,\,\alpha \nu \,\,\,y = z}$

$\displaystyle{ (5) \Rightarrow x = - t}$

$\displaystyle{ (4) \Rightarrow (2x + y)(2y - x) = 2\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 4xy - 2x^2 + 2y^2 - xy = 2x^2 + 2y^2 \Rightarrow 4x^2 - 3xy = 0 \Rightarrow 4x = 3y\,\,(6)}$

Το σύστημα των $\displaystyle{(1),(6)\,}$ δίνει $\displaystyle{ x = \frac{3}{5}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y = \frac{4}{5}\,\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,\,\,\,z = \frac{4}{5}\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,t = - \frac{3}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,\,\,\,x = - \frac{3}{5}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y = - \frac{4}{5}\,\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,\,\,\,z = - \frac{4}{5}\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,t = \frac{3}{5}\,}$

$\displaystyle{ * \,\,\alpha \nu \,\,\,y = - z}$

$\displaystyle{ (5) \Rightarrow x = t}$

Ανάλογα βρίσκουμε $\displaystyle{ x = \frac{4}{5}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y = \frac{3}{5}\,\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,\,\,\,z = - \frac{3}{5}\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,t = \frac{4}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,\,\,\,x = - \frac{4}{5}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y = - \frac{3}{5}\,\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,\,\,\,z = \frac{3}{5}\,\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,t = - \frac{4}{5}\,}$

Οι λύσεις που έχουν αναφερθεί είναι δεκτές αφού επαληθεύουν.

Γιώργος

#3

Καλησπέρα
με διανύσματα

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\\ {z^2} + {t^2} = 1\\ xz + yt = 0\\ \left( {2x + z} \right)\left( {2y + t} \right) = 2\\ \left( {x,y,z,t \in \mathbb R} \right) \end{array} \right.}$

Έστω $\vec a=(x,y),\quad |\vec a|=1$ και $\vec b=(z,t),\quad |\vec b|=1$
από την 3η σχέση έχουμε $\vec a \perp \vec b$

άρα θα είναι $A):\vec b=(-y,x) \quad \eta \quad B):\vec b=(y,-x)$
----------------
Για την περίπτωση $A): \vec b=(-y,x)\quad ,\quad y=-z,\quad x=t$

$(4)\Rightarrow (2x-y)(2y+x)=2\stackrel{x^2=1-y^2}\Longrightarrow 4y^2=3xy\Rightarrow y=0\quad \eta \quad y=\dfrac{3x}{4}$

$y=0\Rightarrow x=1$ ή y=0,x=-1

$y=\dfrac{3x}{4}\Rightarrow x=\pm \dfrac{4}{5}$ ,βρίσκουμε και τα υπόλοιπα (όπως έχει ο Γιώργος)
------------------
Για την περίπτωση $B):\vec b=(y,-x)\quad ,\quad y=z,\quad x=-t$

$(4)\Rightarrow (2x+y)(2y-x)=2\stackrel{y^2=1-x^2}\Longrightarrow 4x^2=3xy\Rightarrow x=0\quad \eta \quad x=\dfrac{3y}{4}$

$x=0 \rightarrow y=1$ ή $x=0\rightarrow y=-1$

$x=\dfrac{3y}{4}\Rightarrow \dots$ πραξούλες
---

ArgirisM · #4

Να προτείνω και εγώ μία ιδέα για έναν ριζικά διαφορετικό τρόπο αντιμετώπισης. Από τις δύο πρώτες σχέσεις του συστήματος προκύπτει ότι τα σημεία (x, y), (z, t)

ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο, άρα υπάρχουν γωνίες $0 \le \phi_1, \phi_2 < 2 \pi$ , ώστε $(x, y) = (\sigma \upsilon \nu \phi_1, \eta \mu \phi_1), (z, t) = (\sigma \upsilon \nu \phi_2, \eta \mu \phi_2)$ . Η τρίτη σχέση μας δίνει ότι $\phi_1 - \phi_2 = \frac{\pi}{2} \vee \phi_1 - \phi_2 = \frac{3 \pi}{2}$ . Μένει τώρα να αντικαταστήσουμε στην τελευταία εξίσωση διακρίνοντας περιπτώσεις...

ΣΥΣΤΗΜΑ 11 (Από βιβλίο του ΖΟΥΡΝΑ)

ΣΥΣΤΗΜΑ 11 (Από βιβλίο του ΖΟΥΡΝΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 11 (Από βιβλίο του ΖΟΥΡΝΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 11 (Από βιβλίο του ΖΟΥΡΝΑ)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 11 (Από βιβλίο του ΖΟΥΡΝΑ)

Μέλη σε σύνδεση