ΣΥΣΤΗΜΑ 24

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} z\left( {{2^x} + {3^y}} \right) = 5\\ \frac{{{2^y} + {3^x}}}{z} = 5\\ x + y + 2z = {z^2} + 3\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

#2

Με πολλαπλασιασμό των πρώτων δύο εξισώσεων βρίσκουμε

$\displaystyle{(2^x+3^y)(2^y+3^x)=25,}$

ενώ, από την τρίτη, έχουμε $\displaystyle{x+y=(z-1)^2+2\geq 2\implies y\geq 2-x.}$

Άρα

$\displaystyle{25\geq 6^x+4+9+6^{2-x}=13+6^x+6^{2-x}\geq 13+2\sqrt{6^x\cdot 6^{2-x}}=13+12=25.}$

Άρα ισχύει παντού ισότητα, οπότε $\displaystyle{6^x=6^{2-x}\implies x=1.}$

Άρα $\displaystyle{y=1}$ και $\displaystyle{z=1.}$

Προφανώς η τριάδα $\displaystyle{(1,1,1)}$ ικανοποιεί τις εξισώσεις του συστήματος.

ΣΥΣΤΗΜΑ 24

ΣΥΣΤΗΜΑ 24

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 24

Μέλη σε σύνδεση