ΣΥΣΤΗΜΑ 34

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 4x = 8y\\ {y^3} - 4y = 8z\\ {z^3} - 4z = 8x\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

kostas_zervos · #2

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 4x = 8y\\ {y^3} - 4y = 8z\\ {z^3} - 4z = 8x\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

Αν υποθέσουμε ότι x>y

(όμοια αν

) , τότε:

$x^3>y^3\Rightarrow 4x+8y>4y+8z\Rightarrow x+y>2z$ .

Άρα $2x>x+y>2z\Rightarrow x>z\Rightarrow x^3>z^3\Rightarrow$

$\Rightarrow 4x+8y>4z+8x\Rightarrow 2y>x+z>2z\Rightarrow y>z\Rightarrow$

$\Rightarrow y^3>z^3\Rightarrow 4y+8z>4z+8x\Rightarrow y+z>2x$ .

Άρα 2x=x+x>y+z>2x

ΑΤΟΠΟ.

Επομένως πρέπει x=y=z

και έχουμε τελικά την εξίσωση $x^3-4x=8x\iff x=0$ ή $x=2\sqrt{3}$ ή $x=-2\sqrt{3}$ .

Επομένως (x,y,z)=(0,0,0)

ή $(x,y,z)=(2\sqrt{3},2\sqrt{3},2\sqrt{3})$ ή $(x,y,z)=(-2\sqrt{3},-2\sqrt{3},-2\sqrt{3})$ που επαληθεύουν το σύστημα.

parmenides51 · #3

παρόμοιες

erxmer έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}x^3+2x^2+x-3=y \\ y^3+2y^2+y-3=z \\ z^3+2z^2+z-3=x \end{cases}}$

εδώ

chris_gatos έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x=z^3+2z+1 \\ y=x^3+2x+1 \\ z=y^3+2y+1 \end{cases}}$

εδώ

socrates έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x^3-x+2 = 2y \\ y^3-y + 2 = 2z \\ z^3- z + 2 = 2x \end{cases}.}$

εδώ

socrates έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} x=3z^3+2z^2 \\ y=3x^3+2x^2 \\ z=3y^3+2y^2 \end{cases}}$

εδώ

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {2^x + 3^x + x = \,y + 13} \\ {2^y + 3^y + y = \,z + 13} \\ {2^z + 3^z + z = \,x + 13} \\ \end{array}} \right.$

εδώ

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^x} = 1-y}\\ {{2^y} = 1-z}\\ {{2^z} = 1-x} \end{array}} \right.$

εδώ

matha έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} x^3+3x-3+\ln (x^2-x+1)=y\\ y^3+3y-3+\ln (y^2-y+1)=z\\ z^3+3z-3+\ln (z^2-z+1)=x \end{array}} \right.$

εδώ

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5^x + 12^y = 13^x } \\ {5^y + 12^z = 13^y } \\ {5^z + 12^x = 13^z } \end{array}} \right.$

εδώ

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\log _6 (x^2 + 2) = \log _2 y} \\ {\log _6 (y^2 + 2) = \log _2 z} \\ {\log _6 (z^2 + 2) = \log _2 x} \\ \end{array}} \right. }$

εδώ

Δημήτρης Μυρογιάννης έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{2x^{2}}{1+x^{2}}=y\\ \\ \displaystyle\frac{2y^{2}}{1+y^{2}}=z\\ \\ \displaystyle\frac{2z^{2}}{1+z^{2}}=x \end{matrix}\right.$

εδώ

parmenides51 · #4

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 4x = 8y\\ {y^3} - 4y = 8z\\ {z^3} - 4z = 8x\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$

Θέτω $\displaystyle{f(x)=x^3+4x , \, x\in \mathbb{R}}$

η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$

Το σύστημα γράφεται $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 4x+8x = 8y+8x\\ {y^3} - 4y+8y = 8z+8y\\ {z^3} - 4z+8z = 8x+8z \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^3}+4x = 8y+8x\\ {y^3} +4y = 8z+8y\\ {z^3} +4z = 8x+8z \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x)= 8(y+x)\\ f(y)= 8(z+y)\\ f(z)= 8(x+z) \end{array} \right.$

Έστω $x=\min \{x,y,z\}$ . Τότε έχουμε τις περιπτώσεις $x\leq y\leq z$ ή $x\leq z\leq y$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x\leq y\leq z \mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{f \nearrow}f(x)\leq f(y)\leq f(z) }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 8(y+x) \le 8(z+y)\le 8(x+z) \Leftrightarrow y+x \le z+y\le x+z \Rightarrow z+y\le x+z \Leftrightarrow y\le x}$

κι επειδή $\displaystyle{x\leq y}$ θα ισχύει $\displaystyle{ y=x}$

οπότε $\displaystyle{f(x)=f(y) \Leftrightarrow 8(y+x)=8(z+y) \Leftrightarrow y+x=z+y \Leftrightarrow x=z}$ άρα $\displaystyle{x=y=z}$

$\displaystyle{{x^3} - 4x = 8y\,\,\, \mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{y=x} \,\,\,{x^3} - 4x = 8x \Leftrightarrow x^3=12x \Leftrightarrow x(x^2-12)=0 \Leftrightarrow x=0}$ ή $\displaystyle{x=\pm \sqrt{12}=\pm 2 \sqrt{3}}$

άρα το σύστημα έχει λύσεις τις $\displaystyle{(x_1,y_1,z_1)=(0,0,0), }$

$\displaystyle{(x_2,y_2,z_2)=(2 \sqrt{3},2 \sqrt{3},2 \sqrt{3}), (x_3,y_3,z_3)=(-2 \sqrt{3},-2 \sqrt{3},-2 \sqrt{3})}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x\leq z\leq y \mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{f \nearrow}f(x)\leq f(z)\leq f(y)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 8(y+x) \le 8(x+z)\le 8(z+y) \Leftrightarrow y+x \le x+z\le z+y \Rightarrow y+x \le x+z \Leftrightarrow y\le z}$

κι επειδή $\displaystyle{z\leq y}$ θα ισχύει $\displaystyle{ y=z}$

οπότε $\displaystyle{f(y)=f(z) \Leftrightarrow 8(z+y)=8(x+z) \Leftrightarrow z+y=x+z \Leftrightarrow y=x}$ άρα $\displaystyle{x=y=z}$

οπότε πάλι προκύπτουν οι ίδιες τρεις λύσεις

ΣΥΣΤΗΜΑ 34

ΣΥΣΤΗΜΑ 34

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 34

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 34

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 34

Μέλη σε σύνδεση