Τριγωνομετρία-απόδειξη

sorfan · #1

Καλησπέρα
Άλλη μία ενδιαφέρουσα τριγωνομετρική

Να αποδείξετε ότι
$\sin ^{3}18^{0}+\sin ^{2}18^{0}=\frac{1}{8}$

Σπύρος Ορφανάκης

#2

Το 1ο μέλος είναι ίσο με

$\begin{aligned}\sin^2{18^{\circ}}\cos{72^{\circ}}+\sin^2{18^{\circ}} &=\sin^2{18^{\circ}}(1+\cos{72^{\circ}})=2\sin^2{18^{\circ}}\cos^2{36^{\circ}} \\ &=2\left(\displaystyle\frac{\sin{36^{\circ}}}{2\cos{18^{\circ}}}\right)^2\cos^2{36^{\circ}}=\displaystyle\frac{2\sin^2{36^{\circ}}\cos^2{36^{\circ}}}{4\cos^2{18^{\circ}}} \\ &=\displaystyle\frac{\sin^2{72^{\circ}}}{8\cos^2{18^{\circ}}}=\displaystyle\frac{1}{8}\end{aligned}$

#3

Όταν ήμασταν μαθητές (... μετά τον πόλεμο), είχαμε στη διδακτέα ύλη στη Β΄ Λυκείου, από την Τριγωνομετρία του Πανάκη, τις αποδείξεις των τύπων των τριγωνομετρικών αριθμών 18°, 36°, 54° και 72°.
Οπότε η άσκηση του Σπύρου θα μπορούσε να θεωρηθεί (τότε ...) τετριμμένη.

Είναι $\displaystyle \eta \mu 18^\circ = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}$ , οπότε
$\displaystyle \eta \mu ^3 18^\circ + \eta \mu ^2 18^\circ = \eta \mu ^2 18^\circ \left( {1 + \eta \mu 18^\circ } \right) = \frac{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2 }}{{16}} \cdot \left( {1 + \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}} \right) = \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{{16}} \cdot \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4} = \frac{8}{{64}} = \frac{1}{8}$

Δίνω μια απόδειξη για το ημ18°:
$\displaystyle \sigma \upsilon \nu 54^\circ = \eta \mu 36^\circ \; \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu \left( {18^\circ + 36^\circ } \right) = \eta \mu 36^\circ \\ \Leftrightarrow \;\;\sigma \upsilon \nu 18^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 36^\circ - 2\eta \mu ^2 18^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 18^\circ = 2\eta \mu 18^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 18^\circ$
$\displaystyle \Leftrightarrow \;\;\;\sigma \upsilon \nu 36^\circ - 2\eta \mu ^2 18^\circ = 2\eta \mu 18^\circ \;\;\; \Leftrightarrow \;\;1 - 2\eta \mu ^2 18^\circ - 2\eta \mu ^2 18^\circ = 2\eta \mu 18^\circ \;\;$

$\displaystyle \Leftrightarrow \;\;4\eta \mu ^2 18^\circ + 2\eta \mu 18^\circ \; - 1\; = 0\;\; \Leftrightarrow \;\;...\;\;\; \Leftrightarrow \;\eta \mu 18^\circ = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}$
και προτείνω ως άσκηση για μαθητές (πρώτα) τον υπολογισμό των υπολοίπων τριγωνομετρικών αριθμών.

Γιώργος Ρίζος

#4

Rigio έγραψε: Δίνω μια απόδειξη για το ημ18°
<...>
[/i]

Και μία πιο Γεωμετρική: Από την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη του κανονικού δεκαγώνου ξέρουμε ότι η πλευρά του είναι $\frac{(\sqrt{5} - 1 )R}{2}$ .
Πρόκειται για την πανέμορφη κατασκευή (από τα ΣΤΟΙΧΕΙΑ του Ευκλέιδη) που χρησιμοποιεί χρυσή τομή.

Επειδή η κεντρική γωνία του κανονικού δεκαγώνου είνει 36 μοίρες, φέρνοντας το ύψος (που είναι κα διχοτόμος) βλέπουμε αμέσως ότι ημ18 = ως άνω.

Μ.

Τριγωνομετρία-απόδειξη

Τριγωνομετρία-απόδειξη

Re: Τριγωνομετρία-απόδειξη

Re: Τριγωνομετρία-απόδειξη

Re: Τριγωνομετρία-απόδειξη

Μέλη σε σύνδεση