Απόδειξη-3-

#1

Αν $a\in\big(0,\frac{\pi}{2}\big)$ ,να δείξετε ότι $: \displaystyle{\epsilon\phi a+\sigma\phi a+\frac{1}{1+\epsilon\phi a}+\frac{1}{1+\sigma\phi a}\geq 3}$

πότε ισχύει το (=);

Ιστοσελίδα · #2

Η ισότητα για α=π/4

Ιστοσελίδα · #3

Και η απόδειξη :
$tana + cota + \frac{1}{1+tana} + \frac{1}{1+cota} =\\ \frac{sina}{cosa} + \frac{cosa}{sina} + \frac{1}{1+\frac{sina}{cosa}} + \frac{1}{1+\frac{cosa}{sina}} =\\ \frac{sin^2a+cos^2a}{sina cosa} + \frac{cosa}{cosa+sina} + \frac{sina}{sina+cosa}=\\ \frac{1}{sinacosa} + 1 \Rightarrow \\ \ldots \\ \frac{1}{sinacosa} >= 2 \Leftrightarrow \\ 2sina cosa <= 1 \Leftrightarrow\\ sin(2a) <=1$
το οποίο ισχύει για τη δοθείσα γωνία.

mathfinder · #4

Λίγο διαφορετικά :
Επειδή $\frac{1}{1+\epsilon \phi \alpha }+\frac{1}{1+\sigma \phi \alpha }=1$ αρκεί να είναι $\epsilon \phi \alpha +\sigma \phi \alpha \geq 2$ που ισχύει .
Σαν ισότητα ισχύει όταν εφα=1 , δηλ. για $\alpha =\frac{\pi }{4}$

Αθ. Μπεληγιάννης

Ιστοσελίδα · #5

mathfinder έγραψε: Επειδή $\frac{1}{1+\epsilon \phi \alpha }+\frac{1}{1+\sigma \phi \alpha }=1$
Αθ. Μπεληγιάννης

Είναι κάποια γνωστή ταυτότητα?

mathfinder · #6

Οχι , απλώς κάνουμε τις πράξεις .

Απόδειξη-3-

Απόδειξη-3-

Re: Απόδειξη-3-

Re: Απόδειξη-3-

Re: Απόδειξη-3-

Re: Απόδειξη-3-

Re: Απόδειξη-3-

Μέλη σε σύνδεση