τριγωνομετρικη παρασταση

nassou13 · #1

Να δειχθει οτι συν2π/7+συν4π/7+συν6π/7 =-1/2

#2

$\displaystyle{\cos (\frac{2\pi}{7})+\cos (\frac{4\pi}{7})+\cos (\frac{6\pi}{7})= \frac{2\cos (\frac{\pi}{14}) \left(\cos (\frac{2\pi}{7})+\cos (\frac{4\pi}{7})+\cos (\frac{6\pi}{7})\right)}{2\cos \frac{\pi}{14})}=\frac{\cos(\frac{3\pi}{14})+\cos(\frac{5\pi}{14})+\cos(\frac{7\pi}{14})+\cos(\frac{9\pi}{14})+\cos(\frac{11\pi}{14})+\cos(\frac{13\pi}{14})}{2\cos (\frac{\pi}{14})}}$

Αφού

$\displaystyle{\cos(\frac{3\pi}{14})+\cos(\frac{11\pi}{14})=2\cos(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{4\pi}{7})=0}$ , $\displaystyle{\cos(\frac{7\pi}{14})=0}$ , και $\displaystyle{\cos(\frac{5\pi}{14})+\cos(\frac{7\pi}{14})=2\cos(\frac{\pi}{2})\cos(\frac{\pi}{14})=0}$ ,

το ζητούμενο άθροισμα ισούται με

$\displaystyle{\frac{\cos (\frac{13\pi}{14})}{2\cos (\frac{\pi}{14})}=\frac{-\cos (\frac{\pi}{14})}{2\cos (\frac{\pi}{14})}=-\frac{1}{2}}$

Σημείωση: To πρόβλημα αυτό έχει πολλές λύσεις. Ας συγκριθεί με το πρόβλημα 5 της ΔΜΟ του1963 (http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/ww ... ln635.html).

Ενδιαφέρον θα είχε μια γεωμετρική λύση.

Φιλικά,

Αχιλλέας

papel · #3

Μια ακομη λυση ειναι πολλαπλασιασμος και διαιρεση με sin(2π/7) για το LHS.

τριγωνομετρικη παρασταση

τριγωνομετρικη παρασταση

Re: τριγωνομετρικη παρασταση

Re: τριγωνομετρικη παρασταση

Μέλη σε σύνδεση