Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2444
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από polysot » Σάβ Ιαν 30, 2010 10:21 pm

Προτείνω κι εγώ με τη σειρά μου να μαζέψουμε μία σειρά από "λογικές" ασκήσεις σε εξισώσεις άλγεβρας β΄λυκείου που μπορεί να συνδυάζουν από διάφορα κεφάλαια...

Για αρχή :
clip_image002.gif
clip_image002.gif (1.07 KiB) Προβλήθηκε 1857 φορές


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Σάβ Ιαν 30, 2010 10:42 pm

Καλή ιδέα Σωτήρη

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

\displaystyle{
\frac{{2^{ - 1} }}{{2^{ - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu 2x} }} = \frac{{2^{\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2x}}{2}} }}{{2^{3\eta \mu x} }}
}

\displaystyle{
2^{ - 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu 2x}  = 2^{\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2x}}{2} - 3\eta \mu x} 
}

επομένως έχουμε:

\displaystyle{
 - 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu 2x = \frac{{1 - \sigma \upsilon \nu 2x}}{2} - 3\eta \mu x
}

\displaystyle{
 - 2 + \sigma \upsilon \nu ^2 x = \eta \mu ^2 x - 3\eta \mu x
}

\displaystyle{
 - 2 + 1 - \eta \mu ^2 x = \eta \mu ^2 x - 3\eta \mu x
}

\displaystyle{
2\eta \mu ^2 x - 3\eta \mu x + 1 = 0
}

που είναι τριώνυμο ως προς ημx και έχει ρίζες τις 1 και ½ συνεπώς η παραπάνω εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις
ημx = 1, ημx = ½

επομένως οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

\displaystyle{
x = 2k\pi  + \frac{\pi }{2}
}, \displaystyle{
x = 2k\pi  + \frac{\pi }{6}
}, \displaystyle{
x = 2k\pi  + \frac{{5\pi }}{6}
} όπου k ακέραιος


Καρδαμίτσης Σπύρος
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από xr.tsif » Κυρ Ιαν 31, 2010 1:33 pm

ΑΣΚΗΣΗ 2

Σε μία γεωμετρική πρόοδο ο πρώτος όρος είναι \alpha _{1}=8^3^x και ο δεύτερος είναι
\alpha _{2}=8^{x^3+2} . Να βρεθούν οι τιμές του x ώστε ο λόγος λ της προόδου να βρίσκεται
στο διάστημα (0,1).


Χρήστος Τσιφάκης


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Κυρ Ιαν 31, 2010 4:31 pm

Έχουμε ότι: \displaystyle{\lambda =\frac{a_2}{a_1}=8^{x^3-3x+2}}.

Θέλουμε \displaystyle{0 < \lambda < 1 \Leftrightarrow 0<8^{x^3-3x+2}<1 \Leftrightarrow 8^{x^3-3x+2}<8^0 \Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow x^3-3x+2<0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)<0 \Leftrightarrow x < -2 }.

Χρήστο όσο μου πέφτει λόγος, να προτείνω μια αλλαγή στο ζητούμενο:
Να ζητάμε τις τιμές του x ώστε ο λόγος να γίνεται το πολύ 1.
Έτσι αφενός μεν δεν μελετάμε το λ > 0 που έτσι και αλλιώς ισχύει. αφετέρου δε βάζουμε και το x=1 στη λύση.

Φιλικά,

Λευτέρης


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1925
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από xr.tsif » Δευ Φεβ 01, 2010 11:45 pm

ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = (α-7β)x^3 + α x^2 + β x – 6 όπου α,β\inR . Αν Ρ(-1) = 0
και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x –1 είναι ίσο με α , τότε
i) Να βρείτε τους αριθμούς α ,β
ii) Αν log (\kappa ^2\cdot \lambda ^3) = α και log\frac{\kappa }{\lambda }= β όπου α,β οι αριθμοί του (i) ερωτήματος , να
βρείτε τους θετικούς αριθμούς κ ,λ .
iii) Να βρείτε [tex]το άθροισμα των 30 πρώτων όρων αριθμητικής προόδου (γν), αν
γνωρίζετε ότι γ11+γ14+γ17+γ20 = λ , για την τιμή του λ που βρήκατε στο (ii).
Υ.Γ. τα 11 , 14 , 17 , 20 είναι δείκτες

Χρήστος

διόρθωσα τον λog(k^2 λ^3)
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Τρί Φεβ 02, 2010 8:46 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τρί Φεβ 02, 2010 12:01 am

i) \displaystyle{P(-1)=0 \Leftrightarrow b=1}
\displaystyle{P(1)=a \Leftrightarrow a=12}

ii) \displaystyle{log\frac{\kappa}{ \lambda }=1 \Leftrightarrow \kappa =10 \lambda (I)}

\displaystyle{\kappa^2 \lambda^3}=12 \Leftrightarrow \lambda=100}

οπότε \kappa = 1000.

iii) \displaystyle{\gamma _{11}+\gamma _{14}+\gamma _{17}+\gamma _{20}=100 \Leftrightarrow 2 \gamma_1 + 29\omega =50}

Επομένως:
\displaystyle{S_{30}=\frac{2 \gamma_1 + 29 \omega}{2}\cdot 15 = \frac{50}{2} \cdot 15 = 375.}


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2302
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Τετ Φεβ 03, 2010 2:21 pm

Για να επανέλθει το θέμα στο προσκήνιο.


Καρδαμίτσης Σπύρος
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1234
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από hsiodos » Τετ Φεβ 03, 2010 3:15 pm

Επαναφέρω μια άσκηση(Ηταν μόνο για μαθητές και είχε απαντηθεί μόνο το Α) μιας και "κολλάει'' εδώ .

ΑΣΚΗΣΗ 4
Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει 2\eta \mu 2\alpha \sigma \upsilon \nu \alpha +2\eta \mu \alpha -4\eta \mu ^3\alpha =2\eta \mu 3\alpha

B.Έστω η συνάρτηση f(x)=2\eta \mu (2e^x)\sigma \upsilon \nu(e^x)+2\eta \mu (e^x) -4\eta \mu ^3(e^x)+3

(i)Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της εξίσωσης f(x)=5\,\,\,\,(1) δίνονται από την ισότητα x=ln\left(\frac{\pi }{6} \right)+ln(4\kappa +1)\,\,\,\,,\kappa \in N

(ii)Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ln(7\pi )-ln6 δεν είναι λύση της (1)

(iii)Αν x\in (ln\pi ,ln(2\pi ))να αποδείξετε ότι η (1) έχει μοναδική λύση την οποία να βρείτε.

(iv)Να βρείτε την γεωμετρική πρόοδο (o λόγος διάφορος της μονάδας)(\alpha _\nu )\,\,\,,\nu \in N^*, με τους μικρότερους δυνατούς δύο πρώτους όρους, έτσι ώστε οι όροι της ακολουθίας \beta _\nu= ln(\alpha _\nu )} να είναι λύσεις της (1).

(v)Τέλος να αποδείξετε ότι το πλήθος των λύσεων της (1), που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών όρων \beta _{\nu +1}\,\,,\beta _\nu, είναι ίσο με 5^{\nu -1}-1\,\,,\nu \geq 2

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από chris_gatos » Τετ Φεβ 03, 2010 5:14 pm

A) Έχω:
\displaystyle{
2\sin 2a\cos a + 2\sin a - 4\sin ^3 a = 2\sin 2a\cos a + 2\sin a(1 - 2\sin ^2 a) = 2\left[ {\sin 2a\cos a + \sin a\cos 2a} \right] = 2\sin 3a
}
Β)
i) Λόγω του Α) έχω:

\displaystyle{
f(x) = 5 \Rightarrow 2\sin (3e^x ) + 3 = 5 \Rightarrow \sin (3e^x ) = 1 = \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 3e^x  = 2k\pi  + \frac{\pi }{2}
}
με k ακέραιο.
Εδώ πρέπει :\displaystyle{
2k\pi  + \frac{\pi }{2} > 0 \Rightarrow k >  - \frac{1}{4}
}
δηλαδή k φυσικός.
Τότε:
\displaystyle{
e^x  = \frac{{2k\pi }}{3} + \frac{\pi }{6} \Rightarrow e^x  = \frac{{\left( {4k + 1} \right)\pi }}{6}
}
απ'όπου λαμβάνοντας λογάριθμους, προκύπτει το ζητούμενο:
\displaystyle{
x = \ln \left( {4k + 1} \right) + \ln \left( {\frac{\pi }{6}} \right)
}
με k φυσικό.

ii) Είναι:
\displaystyle{
\ln \left( {7\pi } \right) - \ln 6 = \ln \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)
}
Αν είναι λύση τότε θα ισχύει:

\displaystyle{
\ln \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right) = \ln \left( {\frac{{\left( {4k + 1} \right)\pi }}{6}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{1 - 1} \frac{{7\pi }}{6} = \frac{{\left( {4k + 1} \right)\pi }}{6} \Rightarrow 6 = 4k \Rightarrow k = \frac{3}{2}
}
άτοπο.
Συνεπώς δεν είναι λύση.

iii)Aφού η δοθείσα ακολουθία είναι λύση τη (1) θα ισχύει:
\displaystyle{
\ln a_\nu   = \ln \left( {\frac{{\left( {4n + 1} \right)\pi }}{6}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{1 - 1} a_\nu   = \frac{{\left( {4n + 1} \right)\pi }}{6}
}
Αφού πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο, αν λ ο λόγος συτής τοτε:
\displaystyle{
\lambda  = \frac{{a_{\nu  + 1} }}{{a_\nu  }} = \frac{{4n + 5}}{{4n + 1}} = 1 + \frac{4}{{4n + 1}}
}...
Eδώ φαινεται καθαρά πως ο λ εξαρτάται απο το n .
Μήπως εννοείς άλλο και εγώ καταλαβαίνω άλλο;
Μήπως η διατύπωση δεν είναι και τόσο σαφής;
Περιμένω απάντηση!


Χρήστος Κυριαζής
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1234
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από hsiodos » Τετ Φεβ 03, 2010 5:36 pm

Χρήστο όταν κατασκεύασα τα 2 τελευταία ερωτήματα δεν κράτησα (κακή συνήθεια)την λύση που είχα κατά νου .
Θα το ξαναδώ και θα απαντήσω το βράδυ όταν τελειώσω ή αύριο .

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1234
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από hsiodos » Πέμ Φεβ 04, 2010 12:06 am

chris_gatos έγραψε:iii)Aφού η δοθείσα ακολουθία είναι λύση τη (1) θα ισχύει:
\displaystyle{
\ln a_\nu   = \ln \left( {\frac{{\left( {4n + 1} \right)\pi }}{6}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{1 - 1} a_\nu   = \frac{{\left( {4n + 1} \right)\pi }}{6}
}
Αφού πρόκειται για γεωμετρική πρόοδο, αν λ ο λόγος συτής τοτε:
\displaystyle{
\lambda  = \frac{{a_{\nu  + 1} }}{{a_\nu  }} = \frac{{4n + 5}}{{4n + 1}} = 1 + \frac{4}{{4n + 1}}
}...
Eδώ φαινεται καθαρά πως ο λ εξαρτάται απο το n .
Μήπως εννοείς άλλο και εγώ καταλαβαίνω άλλο;
Μήπως η διατύπωση δεν είναι και τόσο σαφής;
Περιμένω απάντηση!


Λοιπόν Χρήστο το ξανακοίταξα και νομίζω πως τα δύο τελευταία ερωτήματα είναι σωστά διατυπωμένα.
Στην λύση που δίνεις φαίνεται να υπάρχει ένα μπέρδεμα που οφείλεται στο ότι ταυτίζεις το δείκτη ν των όρων της προόδου με τον φυσικό κ που εμφανίζεται στον τύπο των λύσεων της εξίσωσης (1) .
Όταν βρω τον χρόνο θα δώσω αναλυτική λύση.

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από mathxl » Πέμ Φεβ 04, 2010 12:14 am

Άσκηση 5
Να λυθεί η εξίσωση
\displaystyle\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\log (x + 50000)} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}log(x - 49990)} \right) = 1

Η άσκηση έχει κλεμμένη ιδέα, την οποία έχει διασκευάσει


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από chris_gatos » Πέμ Φεβ 04, 2010 12:17 am

Οκ Γιώργο. Είμαι περίεργος να δω τι μεταβάλλεται σε αυτήν την πρόοδο...


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1370
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από rek2 » Πέμ Φεβ 04, 2010 9:05 am

mathxl έγραψε:Άσκηση 5
Να λυθεί η εξίσωση
\displaystyle\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\log (x + 50000)} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}log(x - 49990)} \right) = 1

Η άσκηση έχει κλεμμένη ιδέα, την οποία έχει διασκευάσει


x=\frac{10^5}{2}

mathxl production, από την πολύ διερεύνηση παραλίγο να ξεχάσω ότι το παιδί είχε σχολείο!!


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9341
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Φεβ 04, 2010 10:06 am

rek2 έγραψε:
mathxl έγραψε:Άσκηση 5
Να λυθεί η εξίσωση
\displaystyle\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\log (x + 50000)} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}log(x - 49990)} \right) = 1

Η άσκηση έχει κλεμμένη ιδέα, την οποία έχει διασκευάσει


x=\frac{10^5}{2}

mathxl production, από την πολύ διερεύνηση παραλίγο να ξεχάσω ότι το παιδί είχε σχολείο!!


Κώστα, σίγουρα;

Δίνω υπόδειξη για δικό μου (διαφορετικό;) τρόπο:

α) Υποχρεωτικά είτε \displaystyle\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\log (x + 50000)} \right) = \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}log(x - 49990)} \right) = 1

ή

α) Υποχρεωτικά είτε \displaystyle\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\log (x + 50000)} \right) = \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}log(x - 49990)} \right) = -1

β) Από το α) είναι

\displaystyle \log (x + 50000) = 2k+1\, και
\displaystyle \log (x - 49990) = 2n+1\,

είτε ....

γ) άρα είτε e^{2k+1} - 50000= e^{2n+1} +49990

είτε .... και λοιπά.

Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1370
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από rek2 » Πέμ Φεβ 04, 2010 12:12 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
rek2 έγραψε:
mathxl έγραψε:Άσκηση 5
Να λυθεί η εξίσωση
\displaystyle\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\log (x + 50000)} \right) \cdot \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}log(x - 49990)} \right) = 1

Η άσκηση έχει κλεμμένη ιδέα, την οποία έχει διασκευάσει


x=\frac{10^5}{2}

mathxl production, από την πολύ διερεύνηση παραλίγο να ξεχάσω ότι το παιδί είχε σχολείο!!


Κώστα, σίγουρα;

Δίνω υπόδειξη για δικό μου (διαφορετικό;) τρόπο:

α) Υποχρεωτικά είτε \displaystyle\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\log (x + 50000)} \right) = \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}log(x - 49990)} \right) = 1

ή

α) Υποχρεωτικά είτε \displaystyle\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}\log (x + 50000)} \right) = \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2}log(x - 49990)} \right) = -1

β) Από το α) είναι

\displaystyle \log (x + 50000) = 2k+1\, και
\displaystyle \log (x - 49990) = 2n+1\,

είτε ....

γ) άρα είτε e^{2k+1} - 50000= e^{2n+1} +49990

είτε .... και λοιπά.

Μιχάλης.


Ναι, Μιχάλη,έτσι δούλεψα και εγώ! Θεώρησα log=log_{10} και όχι log=ln και κατέληξα στις ίδιες, αντίστοιχες, εξισώσεις. Αν έλυσα και διερεύνησα σωστά, στην συνέχεια, προκύπτει x=\frac{10^5}{2}
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Πέμ Φεβ 04, 2010 12:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1234
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από hsiodos » Πέμ Φεβ 04, 2010 12:40 pm

hsiodos έγραψε:Επαναφέρω μια άσκηση(Ηταν μόνο για μαθητές και είχε απαντηθεί μόνο το Α) μιας και "κολλάει'' εδώ .

ΑΣΚΗΣΗ 4
Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει 2\eta \mu 2\alpha \sigma \upsilon \nu \alpha +2\eta \mu \alpha -4\eta \mu ^3\alpha =2\eta \mu 3\alpha

B.Έστω η συνάρτηση f(x)=2\eta \mu (2e^x)\sigma \upsilon \nu(e^x)+2\eta \mu (e^x) -4\eta \mu ^3(e^x)+3

(i)Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της εξίσωσης f(x)=5\,\,\,\,(1) δίνονται από την ισότητα x=ln\left(\frac{\pi }{6} \right)+ln(4\kappa +1)\,\,\,\,,\kappa \in N

(ii)Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ln(7\pi )-ln6 δεν είναι λύση της (1)

(iii)Αν x\in (ln\pi ,ln(2\pi ))να αποδείξετε ότι η (1) έχει μοναδική λύση την οποία να βρείτε.

(iv)Να βρείτε την γεωμετρική πρόοδο (o λόγος διάφορος της μονάδας)(\alpha _\nu )\,\,\,,\nu \in N^*, με τους μικρότερους δυνατούς δύο πρώτους όρους, έτσι ώστε οι όροι της ακολουθίας \beta _\nu= ln(\alpha _\nu )} να είναι λύσεις της (1).

(v)Τέλος να αποδείξετε ότι το πλήθος των λύσεων της (1), που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών όρων \beta _{\nu +1}\,\,,\beta _\nu, είναι ίσο με 5^{\nu -1}-1\,\,,\nu \geq 2

Γιώργος


Καλημέρα

Για τα δύο τελευταία ερωτήματα. Οι λύσεις της (1) είναι x=ln\left(\frac{\pi }{6} \right)+ln(4\kappa +1)\,\,\,\,,\kappa \in N (2)

Η ζητούμενη Γ.Π \displaystyle{a_\nu} προφανώς έχει θετικό πρώτο όρο και θετικό λόγο λ . Η ακολουθία \displaystyle{\beta _\nu   = \ln (a_\nu  )} είναι αρ.πρόοδος με διαφορά \displaystyle{
\omega  = \ln \lambda } . Ουσιαστικά ζητάμε λοιπόν η \displaystyle{\beta _\nu } να είναι αρ.πρόοδος με τους μικρότερους δυνατούς 2 πρώτους όρους και όλοι οι όροι της να είναι λύσεις της (1) που δίνονται από τον τύπο (2).

Οι δύο μικρότερες λύσεις της (1) είναι οι αριθμοί \displaystyle{\ln \frac{\pi }{6}\,\,\,,\,\,\,\ln \frac{\pi }{6} + \ln 5}

Είναι εύλογο να υποθέσουμε ότι \displaystyle{\beta _1  = \ln \frac{\pi }{6}\,\,\,,\,\,\beta _2  = \,\ln \frac{\pi }{6} + \ln 5} οπότε \displaystyle{\omega  = \ln 5} και να εξετάσουμε αν όλοι οι όροι της είναι λύσεις της (1) . Τότε η \displaystyle{\beta _\nu } θα είναι η ζητούμενη.

Για κάθε \displaystyle{\nu  \in {\rm N}^* } είναι \displaystyle{\beta _\nu   = \ln \frac{\pi }{6} + \ln 5^{\nu  - 1} } . Για να είναι οι όροι της \displaystyle{\beta _\nu } λύσεις της (1) αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε \displaystyle{\nu  \in {\rm N}^* } υπάρχει φυσικός κ ώστε:

\displaystyle{\ln \frac{\pi }{6} + \ln 5^{\nu  - 1}}\displaystyle{ = \,\ln \frac{\pi }{6} + \ln (4\kappa  + 1)} δηλαδή ότι \displaystyle{\ln 5^{\nu  - 1}  = \ln (4\kappa  + 1)} ή \displaystyle{5^{\nu  - 1}  = 4\kappa  + 1} ή \displaystyle{5^{\nu  - 1}  - 1 = 4\kappa } (3)

Όμως για κάθε \displaystyle{\nu  \in {\rm N}^* } ο αριθμός \displaystyle{5^{\nu  - 1}  - 1} είναι πολλαπλάσιο του 4 οπότε υπάρχει φυσικός κ ώστε να ισχύει η (3). Συνεπώς η βν όπως ορίστηκε πιο πάνω είναι η ζητούμενη. Προφανώς για την \displaystyle{a_\nu } θα είναι \displaystyle{\alpha _1  = \frac{\pi }{6}} και λ = 5.

v) Αν \displaystyle{\,\nu  \ge 2}

Έστω ότι ο όρος \displaystyle{\beta _\nu } αντιστοιχεί στη λύση \displaystyle{x_k  = \,\,\,\ln \frac{\pi }{6} + \ln (4\kappa  + 1)} και ο \displaystyle{\beta _{\nu  + 1}} στη λύση \displaystyle{x_\mu   = \,\,\,\ln \frac{\pi }{6} + \ln (4\mu  + 1)} όπου κ ,μ θετικοί ακέραιοι με κ < μ , \displaystyle{5^{\nu  - 1}  - 1 = 4\kappa } , \displaystyle{\,5^\nu   - 1 = 4\mu } (έχουν δειχθεί στο προηγούμενο).

Τότε το ζητούμενο πλήθος π είναι ίσο με :\displaystyle{
\pi  = \mu  - \kappa  - 1 = \frac{{5^\nu   - 1}}{4} - \frac{{5^{\nu  - 1}  - 1}}{4} - 1 = \frac{{5^\nu   - 5^{\nu  - 1} }}{4} - 1 = 5^{\nu  - 1}  - 1
}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από chris_gatos » Πέμ Φεβ 04, 2010 1:36 pm

Γιώργο γειά χαρά!
Κοίτα...
Λές \displaystyle{
\beta _\nu   = \ln \left( {a_\nu  } \right)
}
με ν θετικό φυσικό.
Με λίγα λόγια οι όροι της βν, μεταβάλλονται ''παρομοίως'' με αυτούς της αν (όσον αφορά την τάξη τους).
Όμως στη λύση που παρουσιάζεις βάζεις ν=1 για τη βν και ν=0 για την αν(ταυτοχρόνως) καθώς και ν=2 για τη βν και ν=1 για την αν (ταυτοχρόνως).
Εγώ συνεχίζω να πιστεύω πως ήθελε καλύτερη διατύπωση.Δε θα έστελνα το μυαλό μου ποτέ να σκεφτεί έτσι, αφού μου λές βν=ln(αν).
Aν μη τι άλλο πιστεύω να έγινε κατανοητή η ένστασή μου.
Καλό υπόλοιπο της ημέρας σε όλους!


Χρήστος Κυριαζής
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1234
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από hsiodos » Πέμ Φεβ 04, 2010 1:53 pm

chris_gatos έγραψε:Γιώργο γειά χαρά!
Κοίτα...
Λές \displaystyle{
\beta _\nu   = \ln \left( {a_\nu  } \right)
}
με ν θετικό φυσικό.
Με λίγα λόγια οι όροι της βν, μεταβάλλονται ''παρομοίως'' με αυτούς της αν (όσον αφορά την τάξη τους).
Όμως στη λύση που παρουσιάζεις βάζεις ν=1 για τη βν και ν=0 για την αν(ταυτοχρόνως) καθώς και ν=2 για τη βν και ν=1 για την αν (ταυτοχρόνως).
Εγώ συνεχίζω να πιστεύω πως ήθελε καλύτερη διατύπωση.Δε θα έστελνα το μυαλό μου ποτέ να σκεφτεί έτσι, αφού μου λές βν=ln(αν).
Aν μη τι άλλο πιστεύω να έγινε κατανοητή η ένστασή μου.
Καλό υπόλοιπο της ημέρας σε όλους!


Γεια σου Χρήστο !

Για την καλύτερη διατύπωση μπορεί να έχεις δίκιο, θα κοιτάξω να γίνει.

Όμως \displaystyle{
\alpha _1  = \frac{\pi }{6}\,\,\,,\,\,\beta _1  = \,\ln \frac{\pi }{6}} και \displaystyle{
\alpha _2  = \frac{{5\pi }}{6}\,\,\,,\,\,\beta _2  = \,\ln \frac{\pi }{6} + \ln 5} κλπ

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ασκήσεις σε εξισώσεις κάθε τύπου και συνδυαστικές

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από chris_gatos » Πέμ Φεβ 04, 2010 1:55 pm

Ναι κανένα πρόβλημα για τη λύση όπως ξετυλίγεται .
Απλά εγώ δε θα καταλάβαινα τι ζητάς αν δεν.. έβλεπα τη λύση!


Χρήστος Κυριαζής

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες