Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Φωτεινή » Τρί Φεβ 16, 2010 11:05 pm

Ας συγκεντρώσουμε εδώ 20 ασκήσεις σε σχολικό επίπεδο, από το κεφάλαιο των Προόδων (Αριθμητικής-Γεωμετρικής), να τις λύσουμε αναλυτικά,
να τις γράψουμε σε αρχείο word (Σπύρο θα χρειαστούμε τη βοήθειά σου -γιατί έχεις ταλέντο !!!) και να τις τοποθετήσουμε στα αρχείο της λέσχης για οποιαδήποτε χρήση.
Ξεκινάω προτείνοντας 5 ασκήσεις (θέλω να πιστεύω ότι δεν έχω κάνει λάθη ...στην αντιγραφή)

Άσκηση-1-
Αν a_1,a_2,...a_n είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω ,να δείξετε ότι

\displaystyle{A=\frac{1}{\sqrt {a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt {a_2}+\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt {a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_1
}}}

... :arrow: Άσκηση-2-... :!: ...νέα... :!:
Μεταξύ των διαδοχικών όρων της πεπερασμένης γεωμετρικής προόδου 1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,...,\lambda^{\mu},\ \ \mu\in\mathbb{N^*}παρεμβάλλουμε κ αριθμητικούς ενδιάμεσους όρους.
Να προσδιορίσετε το άθροισμα όλων αυτών των αριθμητικών ενδιάμεσων όρων

Άσκηση-3-
Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς a,b , ώστε αν οι αριθμοί x_1,x_2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου
ax^2 +bx+c \ \ ,οι αριθμοί x_1,a,b,c,x_2 να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

Άσκηση-4-

:!: την συμπληρώσαμε στη σελίδα -3- :!:

Άσκηση-5-
Να προσδιοριστεί η αριθμητική πρόοδος με ν όρους,
αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων είναι το 34,το άθροισμα των τεσσάρων τελευταίων όρων είναι το 118 και το άθροισμα όλων των όρων είναι 209
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Κυρ Φεβ 28, 2010 3:46 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6740
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από chris_gatos » Τρί Φεβ 16, 2010 11:15 pm

Καλή η ιδέα της Φωτεινής, ας συνδράμω κι εγώ με μια άσκηση...

ΑΣΚΗΣΗ 6

Να υπολογίσετε το αθροισμα:

\displaystyle{
2010^2  - 2009^2  + 2008^2  - 2007^2  + ... + 2^2  - 1^2 
}


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Φωτεινή » Τρί Φεβ 16, 2010 11:39 pm

... :) ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν... :fool:

.. :!: Ασκηση-7- :!:
Να προσδιορίσετε τις τιμές του a\in\mathbb{R} ώστε η εξίσωση x^4-5(a+1)x^2+4(5a+1)=0 να έχει τέσσερις πραγματικές άνισες ρίζες που να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Φεβ 17, 2010 12:29 am

Φωτεινή έγραψε:... :) ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν... :fool:

.. :!: Ασκηση-7- :!:
Να προσδιορίσετε τις τιμές του a\in\mathbb{R} ώστε η εξίσωση x^4-5(a+1)x^2+4(5a+1)=0 να έχει τέσσερις πραγματικές άνισες ρίζες που να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου

Έστω ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι τέσσερις διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Θα έχουν τότε τη μορφή, έστω

\displaystyle{x_{1}=x-3\omega,\,\,x_{2}=x-\omega,\,\,x_{3}=x+\omega,\,\,x_{4}=x+3\omega}.

Από τους τύπους του Μπαρμπα - Vieta θα είναι

\displaystyle{\displaystyle\sum x_{i}=0\Rightarrow4x=0\Rightarrow x=0}, άρα

\displaystyle{x_{1}=-3\omega,\,\,x_{2}=-\omega,\,\,x_{3}=\omega,\,\,x_{4}=3\omega}.

Ακόμα \displaystyle{\sum x_{i}x_{j}=-5(a+1)\Rightarrow-10\omega^{2}=-5(a+1)\Rightarrow\omega^{2}=\frac{a+1}{2}} (1).

Επίσης \displaystyle{\prod x_{i}=4(5a+1)\Rightarrow9\omega^{4}=4(5a+1)\stackrel{(1)}{\Rightarrow}}

\displaystyle{4(5a+1)=9\Big(\frac{a+1}{2}\Big)^{2}\Rightarrow\Big(a=7\,\,\,\eta\,\,\,a=-\frac{1}{9}\Big)}.

Για τις παραπάνω τιμές του a, οι ρίζες τις δοθείσας είναι πράγματι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, άρα αυτές οι τιμές του a είναι οι ζητούμενες.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από m.pαpαgrigorakis » Τετ Φεβ 17, 2010 1:56 am

Φωτεινή έγραψε: ...αυτή την άσκηση τη δίνω ,γιατί κάποιοι από εσάς ...κάτι... θα θυμηθούν...

Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...

Δίνεται η εξίσωση: (\alpha  + 1)x^3  - (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x^2  + (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x - (\alpha  + 1) = 0,\,\,\alpha  \in R - \{  - 1\}.
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με x_2 τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες x_1 ,x_2 ,x_3 να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος


margavare
Δημοσιεύσεις: 203
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:48 am
Τοποθεσία: Βέροια

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από margavare » Τετ Φεβ 17, 2010 6:16 am

Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.

http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253

και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.


Μαργαρίτα Βαρελά
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Φεβ 17, 2010 8:06 am

Πολύ καλές οι ασκήσεις και τα αρχεία Μαργαρίτα. Όσο για τις ασκήσεις κάποιοι μας ταξίδεψαν σε ΑΣΕΠ καταστάσεις και κάποιοι άλλοι σε διαγωνισμούς Πανελληνίων θεμάτων το 80 και μετά!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Φωτεινή » Τετ Φεβ 17, 2010 8:08 am

margavare έγραψε:Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.

http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253

και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.

Μαργαρίτα... σε ευχαριστούμε πολύ !!!


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Φωτεινή » Τετ Φεβ 17, 2010 8:09 am

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...

Άσκηση-8-

Δίνεται η εξίσωση: (\alpha  + 1)x^3  - (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x^2  + (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x - (\alpha  + 1) = 0,\,\,\alpha  \in R - \{  - 1\}.
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με x_2 τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες x_1 ,x_2 ,x_3 να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Φωτεινή » Τετ Φεβ 17, 2010 8:25 am

ακόμα μία με Αριθμητική ...και μετά φεύγουμε ... για Γεωμετρική

Άσκηση-9-

Αν \displaystyle{\Sigma_n,\Sigma_{2n},\Sigma_{3n}} είναι αντίστοιχα τα αθροίσματα των n,2n,3n πρώτων όρων μιας Αριθμητικής προόδου,να αποδείξετε ότι \displaystyle{:\Sigma_{3n}=3(\Sigma_{2n}-\Sigma_n)}


Φωτεινή Καλδή
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από papel » Τετ Φεβ 17, 2010 10:59 am

Λυση της Ασκησης 1

Εστω ω η διαφορα της προοδου και \displaystyle{{a_\nu } = {a_1} + \left( {\nu  - 1} \right) \cdot \omega } ο γενικος ορος της προοδου.Τοτε ο πρωτος ορος του αθροισματος γραφεται :

\displaystyle{\begin{array}{l}
 \frac{1}{{\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}} } \right) \cdot \left( {\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} } \right)}}{{\left( {{a_2} - {a_1}} \right)}} =  \\ 
  = \frac{{\left( {\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} } \right)}}{\omega } \\ 
 \end{array}}

Ομοια εχουμε οτι :

\displaystyle{\begin{array}{l}
 \frac{1}{{\sqrt {{a_2}}  + \sqrt {{a_3}} }} = ... = \frac{{\sqrt {{a_3}}  - \sqrt {{a_2}} }}{\omega } \\ 
 ................................................ \\ 
 \frac{1}{{\sqrt {{a_{\nu  - 1}}}  + \sqrt {{a_\nu }} }} = ... = \frac{{\sqrt {{a_\nu }}  - \sqrt {{a_{\nu  - 1}}} }}{\omega } \\ 
 \end{array}}

Αθροιζοντας τελικα παιρνουμε οτι :

\displaystyle{\begin{array}{l}
 \frac{1}{{\sqrt {{a_1}}  + \sqrt {{a_2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{a_2}}  + \sqrt {{a_3}} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {{a_{\nu  - 1}}}  + \sqrt {{a_\nu }} }} =  \\ 
  \\ 
  = \frac{{\sqrt {{a_2}}  - \sqrt {{a_1}} }}{\omega } + \frac{{\sqrt {{a_3}}  - \sqrt {{a_2}} }}{\omega } + ... + \frac{{\sqrt {{a_\nu }}  - \sqrt {{a_{\nu  - 1}}} }}{\omega } =  \\ 
  \\ 
  = ... = \frac{{\sqrt {{a_\nu }}  - \sqrt {{a_1}} }}{\omega } = \frac{{(\sqrt {{a_\nu }}  - \sqrt {{a_1}} )\left( {\sqrt {{a_\nu }}  + \sqrt {{a_1}} } \right)}}{{\omega  \cdot \left( {\sqrt {{a_\nu }}  + \sqrt {{a_1}} } \right)}} =  \\ 
  \\ 
  = \frac{{{a_\nu } - {a_1}}}{{\omega  \cdot \left( {\sqrt {{a_\nu }}  + \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \frac{{{a_1} + \left( {\nu  - 1} \right)\omega  - {a_1}}}{{\omega  \cdot \left( {\sqrt {{a_\nu }}  + \sqrt {{a_1}} } \right)}} = \frac{{\nu  - 1}}{{\left( {\sqrt {{a_\nu }}  + \sqrt {{a_1}} } \right)}} \\ 
 \end{array}}


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
konkyr
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 29, 2009 5:31 pm

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από konkyr » Τετ Φεβ 17, 2010 11:12 am

Την έσβησα αφού με πρόλαβε ο papel να μην την έχουμε δύο φορές λυμένη ;)


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3752
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Γιώργος Ρίζος » Τετ Φεβ 17, 2010 10:10 pm

Μία λύση για την ωραία άσκηση (5)

Φωτεινή έγραψε:Άσκηση-5-
Να προσδιοριστεί η αριθμητική πρόοδος με ν όρους,
αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων είναι το 34,το άθροισμα των τεσσάρων τελευταίων όρων είναι το 118 και το άθροισμα όλων των όρων είναι 209


Έστω ω η διαφορά της Αριθμητικής Προόδου με ν όρους.

\displaystyle
\alpha _1  + \alpha _2  + \alpha _3  + \alpha _4  = 34\;\; \Leftrightarrow \;\;4\alpha _1  + 6\omega  = 34 (1)
\displaystyle
\alpha _\nu   + \alpha _{\nu  - 1}  + \alpha _{\nu  - 2}  + \alpha _{\nu  - 3}  = 118\;\; \Leftrightarrow \;\;4\alpha _\nu   - 6\omega  = 118 (2)

Προσθέτουμε τις (1), (2): \displaystyle
4\left( {\alpha _1  + \alpha _\nu  } \right) = 152\;\; \Leftrightarrow \;\;\alpha _1  + \alpha _\nu   = 38 (3)

Είναι: \displaystyle
\Sigma _\nu   = 209\;\; \Leftrightarrow \;\;\frac{{\alpha _1  + \alpha _\nu  }}{2} \cdot \nu  = 209 άρα, λόγω της (3): ν = 11

Οπότε, από τη (2) έχουμε: \displaystyle
4\left( {\alpha _1  + 10\omega } \right) - 6\omega  = 118\;\; \Leftrightarrow \;\;4\alpha _1  + 34\omega  = 118

Από το σύστημα: \displaystyle
\left\{ \begin{array}{l}
 4\alpha _1  + 6\omega  = 34 \\ 
 4\alpha _1  + 34\omega  = 118 \\ 
 \end{array} \right. έχουμε ότι: \displaystyle
\omega  = 3,\;\;\alpha _1  = 4

Γιώργος Ρίζος

Στα περισσότερα Σχολεία τα τελευταία χρόνια "θυσιάζεται" το κεφάλαιο των Προόδων στο βωμό του χρόνου ή είναι η ιδέα μου;


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από m.pαpαgrigorakis » Τετ Φεβ 17, 2010 11:05 pm

margavare έγραψε:Έχω βάλει στο φάκελο Β Λυκείου Άλγεβρα ένα αρχείο με ασκήσεις.

http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=253

και εδώ http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=254
το 4ο κεφάλαιο.

Mαργαρίτα σε ευχαριστούμε πάρα πολύ.
Εξαιρετική δουλειά, που τη μοιράζεσαι μαζί μας!!!
Να είσαι πάντα καλά
Μίλτος


m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1151
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από m.pαpαgrigorakis » Σάβ Φεβ 20, 2010 5:26 pm

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Άσκηση 8
Δίνεται η εξίσωση: (\alpha  + 1)x^3  - (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x^2  + (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x - (\alpha  + 1) = 0,\,\,\alpha  \in R - \{  - 1\}.
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με x_2 τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες x_1 ,x_2 ,x_3 να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.

Η λύση
Α) Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται \displaystyle{(\alpha  + 1)\left( {x^3  - 1} \right) - (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {(\alpha  + 1)\left( {x^2  + x + 1} \right) - x(\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)} \right) = 0 \Leftrightarrow }
\displaystyle{\left( {x - 1} \right)\left( {(\alpha  + 1)x^2  - (\alpha ^2  + 4\alpha  - 6)x + \left( {\alpha  + 1} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow } x = 1 ή \displaystyle{(\alpha  + 1)x^2  - (\alpha ^2  + 4\alpha  - 6)x + \left( {\alpha  + 1} \right) = 0}
Άρα οι ρίζες της αρχικής είναι x_1 ,\,\,x_2 ,\,\,x_3 όπου \,x_2  = 1 και x_1 ,\,\,x_3 είναι οι ρίζες της \displaystyle{(\alpha  + 1)x^2  - (\alpha ^2  + 4\alpha  - 6)x + \left( {\alpha  + 1} \right) = 0}
. Ετσι x_1  \cdot \,x_3  = \frac{{\alpha  + 1}}{{\alpha  + 1}} = 1 = x &  & _2^2
επομένως οι x_1 ,\,\,x_2 ,\,\,x_3 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, ανεξάρτητα από την τιμή του \alpha.
Β) Αφού οι x_1 ,\,\,x_2 ,\,\,x_3
είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, θα είναι 2x_2  = x_1  + \,x_3
ή 2 = \frac{{\alpha ^2  + 4\alpha  - 6}}{{\alpha  + 1}} από όπου βρίσκουμε ότι \alpha  = 2 ή \alpha  =  - 4

Γ) Για \alpha  = 2 η αρχική γίνεται 3x^3  - 9x^2  + 9x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 άρα x_1  = \,\,x_2  = \,\,x_3  = 1
Για \alpha  =  - 4 έχουμε - 3x^3  + 9x^2  - 9x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 άρα x_1  = \,\,x_2  = \,\,x_3  = 1

Μίλτος


Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 654
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Χρήστος Λαζαρίδης » Σάβ Φεβ 20, 2010 7:39 pm

chris_gatos έγραψε:Καλή η ιδέα της Φωτεινής, ας συνδράμω κι εγώ με μια άσκηση...

ΑΣΚΗΣΗ 6

Να υπολογίσετε το αθροισμα:

\displaystyle{
2010^2  - 2009^2  + 2008^2  - 2007^2  + ... + 2^2  - 1^2 
}


Πολύ καλή Χρήστο.
Το άθροισμα γράφεται:
\displaystyle{(2^2  + 4^2  + ... + 2010)^2  - (1^2  + 3^2  + ... + 2009^2 ) = (2^2  - 1^2 )+(4^2  - 3^2 ) + ... + (2010^2  - 2009^2 )}
\displaystyle{ = 3 + 7 + 11 + 4019 = \frac{{2005}}{2}(2.3 + 2004.4) = 8026015}

Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
konkyr
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 29, 2009 5:31 pm

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από konkyr » Τρί Φεβ 23, 2010 1:18 am

Άσκηση 10

Δίνεται η ακολουθία (\alpha _{\nu }) με όρους 2,3,5,9,17,33,....

ι)Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (\beta _{\nu }) με γενικό όρο \beta _{\nu }=\alpha _{\nu +1}-\alpha _{\nu } είναι γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε το νιοστό της όρο ως συνάρτηση του ν.

ιι)Να υπολογίσετε το γενικό όρο (\alpha _{\nu }) ως συνάρτηση του ν.


Άβαταρ μέλους
GiannisL
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:29 am
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από GiannisL » Τρί Φεβ 23, 2010 10:17 pm

Ασκηση 9
Αν α1 ο πρώτος όρος της προόδου και ω η διαφορά τότε
\begin{array}{l}
 \sum\nolimits_n { = \frac{1}{2}(2a_1 }  + (n - 1)w)n \\ 
 \sum\nolimits_{2n} { = \frac{1}{2}} (2a_1  + (2n - 1)w)2n \\ 
 3(\sum\nolimits_{2n} { - \sum\nolimits_n {) = 3(} } \frac{1}{2}(2a_1  + (2n - 1)w)2n - \frac{1}{2}(2a_1  + (n - 1)w)n) =  \\ 
  = \frac{{3n}}{2}\left( {4a_1  - 2a_1  + w(4n - 2 - n + 1)} \right) = \frac{{3n}}{2}\left( {2a_1  + \left( {3n - 1} \right)w} \right) = \sum\nolimits_{3n} .  \\ 
 \end{array}


Γιάννης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3752
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Γιώργος Ρίζος » Τετ Φεβ 24, 2010 12:17 am

Κάποιες ξεχάστηκαν. Ας δώσουμε λύσεις και σ' αυτές:
Φωτεινή έγραψε:Άσκηση-3-
Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς a,b , ώστε αν οι αριθμοί x_1,x_2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου
ax^2 +bx+c \ \ ,οι αριθμοί x_1,a,b,c,x_2 να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου


Έστω \displaystyle
a \ne 0. Είναι: \displaystyle
x_1  + x_2  = a + c = 2b (1)
Από τύπους Vieta \displaystyle
x_1  + x_2  =  - \frac{b}{a} (2), \displaystyle
x_1  \cdot x_2  = \frac{c}{a} (3)
Από (1), (2): \displaystyle
2b =  - \frac{b}{a}\; \Leftrightarrow \;\;\left( {2a + 1} \right)b = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;b = 0\;\;\eta \;\;a =  - \frac{1}{2}

• Αν b = 0, τότε \displaystyle
x_1  + x_2  = a + c = 0 άρα\displaystyle
c =  - a, και η εξίσωση γράφεται: \displaystyle
ax^2  - a = 0,\;a \ne 0, οπότε είναι\displaystyle
x_1  =  \pm 1,\;\;x_2  =  \mp 1.
Αν \displaystyle
x_1  =  - 1,\;\;x_2  = 1, η πρόοδος είναι:\displaystyle
 - 1,\;\;\;a,\;\;\;0,\; - a,\;\;\,1, άρα \displaystyle
a =  - \frac{1}{2},\;\;c = \frac{1}{2}.
Ομοίως, αν \displaystyle
x_1  = 1,\;\;x_2  =  - 1, η πρόοδος γράφεται: \displaystyle
1,\;\;a,\;\;0,\;\; - a,\;\; - 1 άρα \displaystyle
a = \frac{1}{2},\;\;c =  - \frac{1}{2}.

• Αν \displaystyle
a =  - \frac{1}{2} και ω η διαφορά της προόδου, τότε \displaystyle
x_1  =  - \frac{1}{2} - \omega ,\;\;x_2  =  - \frac{1}{2} + 3\omega ,\;\;c =  - \frac{1}{2} + 2\omega
Η (3) γράφεται: \displaystyle
\left( { - \frac{1}{2} - \omega } \right)\left( { - \frac{1}{2} + 3\omega } \right) = 1 - 4\omega \; \Leftrightarrow \;...\;\omega ^2  - \omega  + \frac{1}{4} = 0\; \Leftrightarrow \;\omega  = \frac{1}{2}
Άρα \displaystyle
a =  - \frac{1}{2},\;b = 0,\;c = \frac{1}{2}, (όπως παραπάνω)

Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. (1)Ευχαριστούμε την Μαργαρίτα για την προσφορά των αρχείων με τις ασκήσεις σε Προόδους και Εκθετικές - Λογαριθμικές εξισώσεις.

Υ.Γ. (2) Παρατηρήστε ότι: a = ημ210° ή a = ημ30°, b = συν90° και c = -α.
Άσχετο, θα πείτε, ... αλλά ήθελα να βάλω και λίγη τριγωνομετρία στην άσκηση, ευχαριστώντας σας για τα καλά σας λόγια...


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3752
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ασκήσεις Αριθμητικής-Γεωμετρικής Προόδου

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Γιώργος Ρίζος » Τετ Φεβ 24, 2010 8:48 am

m.pαpαgrigorakis έγραψε:Δίνω και εγώ μια άσκηση στο ίδιο "πνεύμα". Κάποιοι ίσως τη θυμηθούν...

Δίνεται η εξίσωση: (\alpha  + 1)x^3  - (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x^2  + (\alpha ^2  + 5\alpha  - 5)x - (\alpha  + 1) = 0,\,\,\alpha  \in R - \{  - 1\}.
Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου α η εξίσωση έχει ρίζες που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.
Β) Αν παραστήσουμε με x_2 τη ρίζα της εξίσωσης που δεν εξαρτάται από την παράμετρο α , προσδιορίστε τότε το α ώστε οι ρίζες x_1 ,x_2 ,x_3 να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
Γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές της παραμέτρου α που βρήκατε στην προηγούμενη ερώτηση η εξίσωση έχει τρεις ίσες ρίζες.
Μίλτος


Πολυτεχνικός - Γεωπονοδασολογικός - Φυσικομαθηματικός Κύκλος 1976.

Ήμουν ... μικρός τότε. Την κάναμε στο φροντιστήριο το '79 (η ηρωική γενιά με εισαγωγικές από Δημοτικό για Γυμνάσιο, από Γυμνάσιο για Λύκειο, τη διαρροή θεμάτων κ.λπ....).

Γιώργος Ρίζος



Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες