Μονοτονία συνάρτησης

Tolaso J Kos · #1

Το παρακάτω θέμα έρχεται με αφορμή άσκηση ενδοσχολικών εξετάσεων.

Δείξατε ότι η συνάρτηση
$\displaystyle{f(x)= \ln \left( x + \sqrt{x^2+1} \right)}$ είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Θαρρώ πως έκανα μία σωστή λύση αλλά θα ήθελα να ακούσω απόψεις επί του θέματος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

harrisp · #2

Διαγραφή λάθος λύσης ...

Tolaso J Kos · #3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Το παρακάτω θέμα έρχεται με αφορμή άσκηση ενδοσχολικών εξετάσεων.

Δείξατε ότι η συνάρτηση
$\displaystyle{f(x)= \ln \left( x + \sqrt{x^2+1} \right)}$ είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Το θέμα βέβαια ζητούσε σαν πρώτο ερώτημα να βρεθεί το πεδίο ορισμού και στη συνέχεια σαν δεύτερο να δειχθεί ότι η είναι περιττή. Η μονοτονία χρειαζόταν για άλλο ερώτημα. Τώρα για τη χρησιμότητα του θέματος στη τάξη αυτή ... δε μπορώ να φέρω άποψη.
Ζητώ συγγνώμη αν κάνω λάθος αλλα δεν ειναι προφανές οτι ειναι γνησίως αύξουσα αφου η $\ln x$ είναι γνησίως αύξουσα;

Χάρη όχι,

δε μπορείς κατασκευστικά αφού η $\sqrt{x^2+1}$ δεν είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Το παρακάτω θέμα έρχεται με αφορμή άσκηση ενδοσχολικών εξετάσεων.

Δείξατε ότι η συνάρτηση
$\displaystyle{f(x)= \ln \left( x + \sqrt{x^2+1} \right)}$ είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Το θέμα βέβαια ζητούσε σαν πρώτο ερώτημα να βρεθεί το πεδίο ορισμού και στη συνέχεια σαν δεύτερο να δειχθεί ότι η είναι περιττή. Η μονοτονία χρειαζόταν για άλλο ερώτημα. Τώρα για τη χρησιμότητα του θέματος στη τάξη αυτή ... δε μπορώ να φέρω άποψη.
Ζητώ συγγνώμη αν κάνω λάθος αλλα δεν ειναι προφανές οτι ειναι γνησίως αύξουσα αφου η $\ln x$ είναι γνησίως αύξουσα;

Χάρη είναι σωστό αυτό που γράφεις αν η $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Στην ουσία πρέπει να αποδειχθεί ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Χάρη είναι σωστό αυτό που γράφεις αν η $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

με $g(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Στην ουσία πρέπει να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

Με αφορμή το παραπάνω σχόλιο του Σταύρου, παραθέτω ένα θέμα που είχα στείλει στο study4exams του Υπουργείου το σχολικό έτος 2015-2016 (συνεχίζει να υπάρχει και το τρέχον σχολικό έτος στο 2ο διαγώνισμα εδώ - Σημείωση 20.09.2018:Το παραπάνω θέμα βρίσκεται πλέον στο 3ο διαγώνισμα εδώ) για να το βάλουν ως θέμα σε ένα αρχικό διαγώνισμα με στόχο την μονοτονία της συνάρτησης $g(x)=x+\sqrt{x^2+1}$ χωρίς χρήση διαφορικού λογισμού.

Το θέμα βρίσκεται εδώ και παραθέτω την εκφώνησή του μαζί με τα βοηθητικά ερωτήματα.

cretanman έγραψε: Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$

1) Να δείξετε ότι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ .

3) Αφού δείξετε ότι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ .

4) Αν για τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει $\left(a+\sqrt{a^2+1}\right)\left(b+\sqrt{b^2+1}\right)=1$ να αποδείξετε ότι .

5) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης .

Tolaso J Kos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: .... $g(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}$ είναι γνησίως αύξουσα.
Στην ουσία πρέπει να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα.

... το οποίο το έχουμε δει εδώ με πολύ ωραία υποδειγματική λύση από τον Αλέξανδρο και άλλους συναδέλφους.

Η δική μου λύση πατάει πάνω στη λύση του Αλέξανδρου.

Αλέξανδρε διασταυρωθήκαμε!!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Να παραθέσω την εξής παρατήρηση που η απόδειξη της είναι πανεύκολη.

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Η

είναι γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν οι

$f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ και $f:(-\infty ,0]\rightarrow \mathbb{R}$

είναι γνησίως αύξουσες.

Μπορεί να εφαρμοσθεί εδώ ώστε να είναι πιο εύκολες οι πράξεις.

Αλλη συνάρτηση που εφαρμόζεται είναι η $h(x)=\dfrac{x}{1+\left | x \right |}$

Christos.N · #8

Tolaso J Kos έγραψε: ....και στη συνέχεια σαν δεύτερο να δειχθεί ότι η είναι περιττή....

Επειδή τα θέματα έχουν συλλογιστική και δεν υπάρχουν άσχετα ερωτήματα (κατά συντριπτική πλειοψηφία) εκ μέρους των εξεταστών, ας πάρουμε λαβή την παραπάνω λεπτομέρεια.

$\displaystyle{\begin{array}{l} 0 \le {x_1} < {x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} < {x_2}\\ \sqrt {{x_1}^2 + 1} < \sqrt {{x_2}^2 + 1} \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + \sqrt {{x_1}^2 + 1} < {x_2} + \sqrt {{x_2}^2 + 1} \Rightarrow \ln \left( {{x_1} + \sqrt {{x_1}^2 + 1} } \right) < \ln \left( {{x_2} + \sqrt {{x_2}^2 + 1} } \right)\\ \\ \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right) \end{array}}$

Δείξαμε δηλαδή ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)}$

Γνωρίζουμε όμως ότι η συνάρτηση είναι περιττή

Άρα $\displaystyle{{x_1} < {x_2} \le 0 \Rightarrow 0 \le - {x_2} < - {x_1} \Rightarrow f\left( { - {x_2}} \right) < f\left( { - {x_1}} \right) \Rightarrow - f\left( {{x_2}} \right) < - f\left( {{x_1}} \right) \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)}$

και με αυτόν τον τρόπο δείξαμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left.( { - \infty ,0} \right]}$ .

Το λεπτό σημείο είναι αυτό:

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Να παραθέσω την εξής παρατήρηση που η απόδειξη της είναι πανεύκολη.

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Η είναι γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν οι

$f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ και $f:(-\infty ,0]\rightarrow \mathbb{R}$

είναι γνησίως αύξουσες

Το οποίο διευθετείται ως εξής:

$\displaystyle{{x_1} < 0 < {x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} < 0\mathop \Rightarrow \limits^{f \uparrow ( - \infty ,0]} f\left( {{x_1}} \right) < f\left( 0 \right)\\ 0 < {x_2}\mathop \Rightarrow \limits^{f \uparrow [0, - \infty )} f\left( 0 \right) < f\left( {{x_2}} \right) \end{array} \right. \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)}$

Με τα παραπάνω καλύψαμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις σύγκρισης των εξαρτημένων τιμών , σε σχέση με το πρόσημο των ανεξάρτητων τιμών.

Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς.

Σχόλιο: η συγκεκριμένη συνάρτηση βρίσκεται στο σχολικό και το ερώτημα της μονοτονίας σίγουρα είναι δύσκολο αλλά επειδή η Β' Λυκείου έχει εντός ύλης το 2ο κεφάλαιο , δίνεται η ευκαιρία να μελετηθούν ιδιότητες των συναρτήσεων σε σχέση με τις συμμετρίες τους.

Tolaso J Kos · #9

Χρήστο ναι! Είναι ο δεύτερος τρόπος που έχω βγάλει τη μονοτονία. Τώρα, το να το σκεφτεί μαθητής και δη Β' Λυκείου.. μάλλον κομματάκι δύσκολο.

Christos.N · #10

Αν το έχει διδάξει ο δάσκαλος στην τάξη όλα είναι εφικτά.

Μονοτονία συνάρτησης

Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Re: Μονοτονία συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση