Σύστημα!

Ορέστης Λιγνός · #1

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα

$\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2=1 \\ 4xy(2y^2-1)=-1 \end{cases}$

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα

$\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2=1 \\ 4xy(2y^2-1)=-1 \end{cases}$

Καλό.

Δεδομένου ότι έπεται $x^2 \le 1$ και άρα $|x| \le 1$ και όμοια για το

, μπορούμε να θέσουμε $x=\sin a, \, y= \cos a$ (το

στο σωστό τεταρτημόριο).

H δεύτερη εξίσωση γίνεται διαδοχικά $4 \sin a \cos a (2\cos ^2 a -1)=-1$ ,
άρα $2\sin 2a \cos 2a =-1$ , οπότε $\sin 4a = -1$ . Τώρα η εύρεση του

είναι απλή, και λοιπά.

Tolaso J Kos · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα

$\displaystyle \begin{cases} x^2+y^2=1 \\ 4xy(2y^2-1)=-1 \end{cases}$

Επιχειρώ μία λύση με τριγωνομετρία και επειδή είναι η πρώτη φορά που το κάνω θα θελα τη γνώμη μου κοινού.

Επειδή η πρώτη εξίσωση είναι κύκλος εύλογο είναι να θέσουμε $x = \sin \theta$ και $y=\cos \theta$ με $\theta \in [0, 2\pi)$ . Τότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται:
$\displaystyle{\begin{aligned} 4 \sin \theta \cos \theta \left ( 2 \cos^2 \theta -1 \right ) = -1 &\Rightarrow 2 \sin 2\theta \cos 2 \theta = -1\\ &\Rightarrow \sin 4\theta = -1 \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \theta & = & \frac{3\pi}{8} \\ \theta& = & - \frac{\pi}{8} \end{matrix}\right. \end{aligned}}$ Άρα $\displaystyle{x = - \sin \frac{\pi}{8} = - \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$ και $\displaystyle{x = \sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$ και τέλος $\displaystyle{y = \cos \left(-\frac{\pi}{8} \right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} }$ αλλά και $\displaystyle{y = \cos \frac{3\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}$ . Άρα το σύστημα έχει τέσσερις λύσεις.

Με μία επαλήθευση με το Wolfram σωστά φαίνεται να τις έχω βρει. Ενδιάφερον έχει να βρεθεί και αλγεβρική επίλυση. Οι παραπάνω τριγωνομετρικοί αριθμοί θεωρούνται γνωστοί και τους έχουμε δει πάμπολες φορές στο .

Ουπς: ήρθα δεύτερος. Το αφήνω διότι έχω δώσει και τις λύσεις.

#4

Με τον κλασικό τρόπο , επειδή είναι ομογενές ως προς $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$
Θέτω $\displaystyle{y = xt}$ , $\displaystyle{t \in R}$

Τότε το σύστημα γίνεται
$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {x^2}{t^2} = 1} \hfill \\ {4{x^2}t(2{x^2}{t^2} - 1) = - 1} \hfill \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = \frac{1}{{1 + {t^2}}}} \hfill \\ {4{x^2}t(2{x^2}{t^2} - 1) = - 1} \hfill \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = \frac{1}{{1 + {t^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)} \hfill \\ {4\frac{t}{{1 + {t^2}}}\left( {2\frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}} - 1} \right) = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)} \hfill \\ \end{array}} \right.}$

$\displaystyle{\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow 4\frac{t}{{1 + {t^2}}}\left( {2\frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}} - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{{4t}}{{1 + {t^2}}}\left( {\frac{{{t^2} - 1}}{{1 + {t^2}}}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 4{t^3} - 4t = - 1 - 2{t^2} - {t^4} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {t^4} + 4{t^3} + 2{t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^4} + 4{t^3} + 4{t^2} - 2{t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {\left( {{t^2}} \right)^2} + {\left( {2t} \right)^2} + 1 + 4{t^3} - 2{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow {\left( {{t^2} + 2t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \pm \sqrt 2 \\ \end{array}}$
Έπονται οι αντικαταστάσεις για την εύρεση των $\displaystyle{x,y}$

Σύστημα!

Σύστημα!

Re: Σύστημα!

Re: Σύστημα!

Re: Σύστημα!

Μέλη σε σύνδεση