Τριγωνομετρική παράσταση!

Ορέστης Λιγνός · #1

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $A=(\sqrt{3}+\tan 1^\circ)(\sqrt{3}+\tan 2^\circ) \cdots (\sqrt{3}+\tan 29^\circ)$ .

Σταμ. Γλάρος · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $A=(\sqrt{3}+\tan 1^\circ)(\sqrt{3}+\tan 2^\circ) \cdots (\sqrt{3}+\tan 29^\circ)$ .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...

Είναι : $A=\left (\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} +\dfrac{sin1^{o}}{cos1^{o}} \right ) \left (\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} +\dfrac{sin2^{o}}{cos2^{o}} \right )... \left (\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} +\dfrac{sin29^{o}}{cos29^{o}} \right )=$

$=\left (\dfrac{sin60^o}{cos60^o} +\dfrac{sin1^{o}}{cos1^{o}} \right ) \left (\dfrac{sin60^o}{cos60^o}+\dfrac{sin2^{o}}{cos2^{o}} \right )... \left (\dfrac{sin60^o}{cos60^o}+\dfrac{sin29^{o}}{cos29^{o}} \right )=$

$=\dfrac{sin60^o\cdot cos1^o + sin1^o\cdot cos60^o}{cos60^o\cdot cos1^o}\cdot \dfrac{sin60^o\cdot cos2^o + sin2^o\cdot cos60^o}{cos60^o\cdot cos2^o}\cdot ...\cdot \dfrac{sin60^o\cdot cos29^o + sin29^o\cdot cos60^o}{cos60^o\cdot cos29^o}=$

$=\dfrac{sin61^o}{cos60^o\cdot cos1^o}\cdot \dfrac{sin62^o}{cos60^o\cdot cos2^o}\cdot ... \dfrac{sin89^o}{cos60^o\cdot cos29^o}=$

$=\dfrac{cos29^o}{cos60^o\cdot cos1^o}\cdot \dfrac{cos28^o}{cos60^o\cdot cos2^o}\cdot ... \dfrac{cos1^o}{cos60^o\cdot cos29^o}=$

$=\dfrac{1}{cos60^o}\cdot \dfrac{1}{cos60^o}\cdot ... \dfrac{1}{cos60^o}= 2^{29}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ορέστης Λιγνός · #3

#4

Καλημέρα.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα $\displaystyle \varepsilon \varphi A + \varepsilon \varphi B = \frac{{\eta \mu \left( {{\rm A} + {\rm B}} \right)}}{{\sigma \upsilon \nu {\rm A} \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm B}}}$ , εφόσον έχουμε τόξα που δεν μηδενίζουν τους παρονομαστές.

Οπότε $\displaystyle A = \left( {\varepsilon \varphi 60^\circ + \varepsilon \varphi 1^\circ } \right)\left( {\varepsilon \varphi 60^\circ + \varepsilon \varphi 2^\circ } \right)...\left( {\varepsilon \varphi 60^\circ + \varepsilon \varphi 29^\circ } \right) =$

$\displaystyle = \frac{{\eta \mu 61^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 60^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 1^\circ }} \cdot \frac{{\eta \mu 62^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 60^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 2^\circ }}...\frac{{\eta \mu 89^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 60^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu 29^\circ }} =$

$\displaystyle = {2^{29}} \cdot\frac{{\eta \mu 61^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 1^\circ }} \cdot \frac{{\eta \mu 62^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 2^\circ }}...\frac{{\eta \mu 89^\circ }}{{\sigma \upsilon \nu 29^\circ }} = {2^{29}}\frac{{\eta \mu 61^\circ }}{{\eta \mu 89^\circ }} \cdot \frac{{\eta \mu 62^\circ }}{{\eta \mu 88^\circ }}...\frac{{\eta \mu 89^\circ }}{{\eta \mu 61^\circ }} = {2^{29}} \cdot 1 = 2$ .

maiksoul · #5

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $A=(\sqrt{3}+\tan 1^\circ)(\sqrt{3}+\tan 2^\circ) \cdots (\sqrt{3}+\tan 29^\circ)$ .

$A=(\sqrt{3}+\tan 1^\circ) (\sqrt{3}+\tan 29^\circ)\cdots(\sqrt{3}+\tan 14^\circ)(\sqrt{3}+\tan 16^\circ)(\sqrt{3}+\tan 15^\circ)$

Καλό μεσημέρι, μια ακόμη προσπάθεια:

Έχουμε λοιπόν 14 ζεύγη γωνιών με άθροισμα 30 μοίρες, επομένως είναι:

$A=[(3+\sqrt{3}(\tan 1^\circ+\tan 29^\circ))+\tan 1^\circ\tan 29^\circ)]...(\sqrt{3}+\tan 15^\circ)\;\;\;\;\;(**)$

όμως αν a>0,b>0

με $a+b=30^\circ$ παίρνουμε ότι:

$tan(a+b)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \sqrt{3}\cdot (tana+tanb)+tana\cdot tanb=1...({\color{Red} 1})$

Έτσι,επειδή επιπλέον είναι $tan15^\circ=2-\sqrt{3}$ , η παράσταση $\;\;(**)\;\;$ γράφεται:

$A=(3+1)\cdot (3+1)\cdot ...(3+1)(\sqrt{3}+2-\sqrt{3})=4^{14}\cdot2=2^{28}\cdot 2=2^{29}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Αυτές τις μέρες με την πίεση των εξετάσεων και των γραπτών δεν είχα χρόνο για να δω τι προτεινόταν...
Ο Ορέστης μας μάς πρότεινε ένα πολύ ωραίο θέμα . Σήμερα το είδα και κάτι θυμήθηκα...
Το είχα προτείνει πριν τρία χρόνια στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=111&t=44475&p=208762#p208762
Ειλικρινά χαίρομαι που ο Ορέστης πρότεινε κάτι που έχω προτείνει κι εγώ...
Ορέστη , η φήμη σου έχει φτάσει στην Κεφαλλονιά , πριν λίγες εβδομάδες δυο παιδιά που μίλαγαν για σένα. Χαιρόμαστε για ό,τι πετυχαίνεις...
Για να γυρίσουμε στο θέμα , όταν το πρότεινα νόμιζα ότι είχα ανακαλύψει κάτι πρωτότυπο . Έκανα λάθος , γιατί το ίδιο το είχε προτείνει ο Titu Andreescu σε ένα τεύχος του Mathematical Reflections πριν από μένα. Θα ήθελα να γράψω σε ποιο , αλλά τώρα είμαι πολύ κουρασμένος για να το ψάξω. Πρέπει να πάω για ύπνο. Αύριο έχω εγερτήριο στις 6:20 για να πάω στις Πανελλήνιες...

Ορέστη , δεν έχω χρόνο για να βλέπω όλες τις δημοσιεύσεις σου , αλλά αυτές που βλέπω με κάνουν να χαίρομαι που είσαι ανάμεσα μας...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

Πρόκειται για το θέμα J39 από το πρώτο τεύχος του 2007 του Mathematical Reflections.

harrisp · #8

Η ακσηση υπαρχει και στο περιοδικο Μελλετη του

!

Δείτε εδώ στην σελιδα 27, ασκ. 9

labrosko73 · #9

πως λυνεται η εξισωση ημχ-συνχ-1=0

#10

labrosko73 έγραψε:πως λυνεται η εξισωση ημχ-συνχ-1=0

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Καλό είναι να τοποθετούμε τα ποστ σε σωστή θέση, όχι σε ποστ με άσχετο θέμα.

Όσο για την άσκηση, υπάρχει σε όλα τα βιβλία Τριγωνομετρίας. Επειδή πιθανότατα πρόκειται για "άσκηση στο σπίτι" από μαθήματα που παρακολουθείς, πες μας τι έχεις κάνει για να σου δώσουμε υπόδειξη από εκεί και πέρα.

#11

labrosko73 έγραψε:πως λυνεται η εξισωση ημχ-συνχ-1=0

Υπενθύμιση στον labrosko73:

Mihalis_Lambrou έγραψε: πες μας τι έχεις κάνει για να σου δώσουμε υπόδειξη από εκεί και πέρα.

Βλέπω ότι ο labrosko73 ξαναμπήκε στο φόρουμ αλλά "δεν είδε" το παραπάνω.

Τριγωνομετρική παράσταση!

Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Re: Τριγωνομετρική παράσταση!

Μέλη σε σύνδεση