Λογαριθμική εξίσωση

Tolaso J Kos · #1

Να επιλυθεί η εξίσωση:
$\displaystyle{\frac{1}{2} \log_2 (x+2) + x +3 = \log_2 \left( \frac{2x+1}{x} \right) + \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \sqrt{x+2}}$

Σταμ. Γλάρος · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Να επιλυθεί η εξίσωση:
$\displaystyle{\frac{1}{2} \log_2 (x+2) + x +3 = \log_2 \left( \frac{2x+1}{x} \right) + \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \sqrt{x+2}}$

Καλημέρα
Μια προσπάθεια εκτός φακέλου ...

Κατ΄αρχάς έχουμε περιορισμούς $x\in (-2, - \frac{1}{2}) \cup (0, + \infty)$ .

Είναι : $\displaystyle{\frac{1}{2} \log_2 (x+2) + x +3 = \log_2 \left( \frac{2x+1}{x} \right) + \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \sqrt{x+2}}$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $log_2(\sqrt{x+2})+(x+2)+1 -2\sqrt{x+2}= log_2\left ( \dfrac{2x+1}{x} \right )+\left ( \dfrac{2x+1}{x}-1 \right )^2$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $log_2(\sqrt{x+2})+(\sqrt{x+2}-1)^2 = log_2\left ( \dfrac{2x+1}{x} \right )+\left ( \dfrac{2x+1}{x}-1 \right )^2$ .

Θεωρούμε την συνάρτηση f(t) = log_2 t+(t-1)^2

με

.
Εδώ βγαίνω εκτός φακέλου...
H

είναι παραγωγίσιμη με $f' (t)= \dfrac{(2ln2)t^2 - (2ln2) t +1 }{t ln2}$ .
Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής του κλάσματος είναι τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα.
Άρα f'(t) >0

, συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα, επομένως και 1-1.

Τελικά η εξίσωση ισοδυνάμως παίρνει την μορφή: $f\left ( \sqrt{x+2} \right ) = f\left ( \dfrac{2x+1}{x} \right )$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+2} = \dfrac{2x+1}{x}$ (επειδή η

είναι 1-1) .

Υψώνοντας στο τετράγωνο και μετά από πράξεις έχουμε : x^3 -2x^2 -4x -1 =0

.
Παραγοντοποίση με Horner κλπ. έχουμε τις ρίζες $x_{1} =-1$ και $x_2 = \dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$ .
Οι παραπάνω επαληθεύουν την αρχική ενώ η αρνητική απορρίπτεται διότι είναι εκτός του διαστήματος $\left ( -2, -\dfrac{1}{2} \right )$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Λογαριθμική εξίσωση

Λογαριθμική εξίσωση

Re: Λογαριθμική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση