Μονοτονία

#1

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \sin x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$

KARKAR · #2

: Μονοτονία ημιτόνου.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 1143 φορές

Για : $0\leq\theta_{1}<\theta_{2}\leq\dfrac{\pi}{2}$ , αρκεί : $y_{1}<y_{2}$

#3

exdx έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 23, 2018 11:31 pm
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \sin x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$

Το σχολικό βιβλίο της Β' Λυκείου έχει απόδειξη, οπότε ο Γιώργης έχει κάτι άλλο στο μυαλό του. Θα κάνω μία γεωμετρική

προσπάθεια. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^0)$ με

σταθερή και

ένα τυχαίο σημείο της πλευράς CA.

: sinx.png (7.71 KiB) Προβλήθηκε 1125 φορές

Είναι

(Η

είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου BDC

) και $\displaystyle CA > DA \Leftrightarrow CB > DB.$

Άρα: $\displaystyle \frac{1}{{CB}} < \frac{1}{{DB}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{CB}} < \frac{{AB}}{{DB}} \Rightarrow \sin a < \sin b$ και αυτό συμβαίνει για οποιεσδήποτε

οξείες γωνίες a,b

με

επομένως η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \sin x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$

Ευχαριστώ τον Χρήστο Ντάβα που μου επεσήμανε ότι στην προηγούμενη ανάρτηση (η οποία διεγράφη) είχα πάρει τη συνάρτηση της εφαπτομένης αντί του ημιτόνου.

#4

Και αλγεβρικά:

Αν $\displaystyle{a,b\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]}$ με $\displaystyle{a<b,}$ είναι $\displaystyle{\frac{a+b}{2}\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}$

και $\displaystyle{a-b\in \left(-\frac{\pi}{4},0\right)}$ , οπότε

$\displaystyle{\sin a-\sin b=2\underbrace{\sin \frac{a-b}{2}}_{<0} \underbrace{\cos \frac{a+b}{2}}_{>0}<0}$

Μονοτονία

Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση