Λογάριθμοι

Ιστοσελίδα · #1

Από το βιβλίο του Ηλία Τζιώρα

Να βρεθούν οι τιμές που παίρνει ο θετικός πραγματικός αριθμός θ, αν οι ρίζες της εξίσωσης:

$\displaystyle{ \log \left[ {\log \left( {x^2 + x\log \theta + 110} \right)} \right] = 0 }$

αποτελούν λύση του συστήματος:

$\displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {y^{\log z} + z^{\log y} = 20} \\ {\log \sqrt {yz} = 1} \\ \end{array}} \right\} }$

margavare · #2

$\begin{array}{l} \log \left( {\log \left( {x^2 + x\log \vartheta + 110} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \\ \log \left( {x^2 + x\log \vartheta + 110} \right) = 1 \Leftrightarrow \\ x^2 + x\log \vartheta + 110 = 10 \Leftrightarrow \\ x^2 + x\log \vartheta + 100 = 0 \\ \end{array}$

$y + z = - \log \vartheta \quad \quad y \cdot z = 100$

Ισχύει

$y^{\log z} = z^{\log y}$

άρα η πρώτη εξίσωση του συστήματος δίνει
$\begin{array}{l} 2y^{\log z} = 20 \Leftrightarrow y^{\log z} = 10 \Leftrightarrow \log z \cdot \log y = 1 \Leftrightarrow \\ \log \left( {\frac{{100}}{y}} \right) \cdot \log y = 1 \Leftrightarrow \left( {2 - \log y} \right) \cdot \log y = 1 \Leftrightarrow \\ \left( {\log y - 1} \right)^2 = 0 \\ \log z = \log y = 1 \\ z = y = 10 \\ \end{array}$

$y + z = - \log \vartheta \quad \Leftrightarrow \log \theta = - 20 \Leftrightarrow \theta = 10^{ - 20}$

Λογάριθμοι

Λογάριθμοι

Re: Λογάριθμοι

Μέλη σε σύνδεση