Ανισότητα με cosa,cosb,cosc

giannisn1990 · #1

Σε κάθε τρίγωνο ABC ΝΔΟ $\displaystyle \frac{cosA}{a}+\frac{cosB}{b}+\frac{cosC}{c}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Ιστοσελίδα · #2

Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε:

$\cos A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2bc}}$

επομένως για την απόδειξη της ανισότητας αρκεί να δειχθεί ότι:

$\frac{{b^2 + c^2 - a^2 }}{{2abc}} + \frac{{a^2 + c^2 - b^2 }}{{2abc}} + \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2abc}} \ge \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

αρκεί $\frac{{b^2 + c^2 + a^2 }}{{2abc}} \ge \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

αρκεί $\frac{{b^2 + c^2 + a^2 }}{{abc}} \ge \frac{{bc + ac + ab}}{{abc}}$

αρκεί $a^2 + b^2 + c^2 \ge bc + ac + ab$
αρκεί $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \ge 2bc + 2ac + 2ab$
αρκεί $(b - c)^2 + (a - c)^2 + (a - b)^2 \ge 0$

που ισχύει

Η ισότητα ισχύει όταν a = b = c δηλαδή στο ισόπλευρο τρίγωνο.

#3

Είναι:
$\frac{{\sigma \upsilon \nu {\rm A}}}{\alpha } + \frac{{\sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{\beta } + \frac{{\sigma \upsilon \nu \Gamma }}{\gamma } = \frac{{\beta ^2 + \gamma ^2 - \alpha ^2 }}{{2\alpha \beta \gamma }} + \frac{{\gamma ^2 + \alpha ^2 - \beta ^2 }}{{2\alpha \beta \gamma }} + \frac{{\alpha ^2 + \beta ^2 - \gamma ^2 }}{{2\alpha \beta \gamma }} = \frac{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}{{2\alpha \beta \gamma }}$

Η ανισότητα γράφεται:

$\frac{{\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 }}{{2\alpha \beta \gamma }} \ge \frac{{\beta \gamma + \gamma \alpha + \alpha \beta }}{{2\alpha \beta \gamma }}\;\;\; \Leftrightarrow \;\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 \ge \;\beta \gamma + \gamma \alpha + \alpha \beta \;\; \Leftrightarrow \;2\alpha ^2 + 2\beta ^2 + 2\gamma ^2 \ge \;2\beta \gamma + 2\gamma \alpha + 2\alpha \beta \;$

$\Leftrightarrow \;\;\left( {\alpha - \beta } \right)^2 + \left( {\beta - \gamma } \right)^2 + \left( {\gamma - \alpha } \right)^2 \ge 0$ , που ισχύει.
(το = για α = β = γ)

Γιώργος Ρίζος

Μόλις είδα την ίδια λύση του Σπύρου! Προς χάριν του LaTex την αφήνω...

Ιστοσελίδα · #4

θα είχε ενδιαφέρον να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων και να απαλλάξουμε την ανισότητα από τις πλευρές του τριγώνου και να γίνει καθαρά τριγωνομετρική η σχέση που θα πρέπει να αποδειχθεί.

Ανισότητα με cosa,cosb,cosc

Ανισότητα με cosa,cosb,cosc

Re: Ανισότητα με cosa,cosb,cosc

Re: Ανισότητα με cosa,cosb,cosc

Re: Ανισότητα με cosa,cosb,cosc

Μέλη σε σύνδεση