Τριγωνομετρία

kostas136 · #1

Γειά σας. Γράφω κάποιες απλές αλλά πιστεύω ωραίες ασκήσεις στην τριγωνομετρία της Β Λυκείου. Ελπίζω να φανούν χρήσιμες ως προπόνηση για τους μαθητές που εξετάζονται αυτήν την περίοδο.

1) Αποδείξτε ότι: $\cos (40^{\circ} -x)=\sin (130^{\circ} -x)$

2) Αν ισχύουν: $\displaystyle \cos x=\frac{a}{b+c}, \cos y=\frac{b}{c+a}, \cos z=\frac{c}{a+b}$ τότε να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \tan^{2}\frac{x}{2}+\tan^{2}\frac{y}{2}+\tan^{2}\frac{z}{2}=1$

3) Λύστε την εξίσωση: $3\sin ^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos ^{2}x=0$

4) Αποδείξτε ότι: $\displaystyle \frac{\tan ^{2}(2x)-\tan ^{2}(x)}{1-\tan ^{2}(2x) \tan ^{2}(x)}=\tan (3x)\tan (x)$

#2

1) $\sin (130^{\circ} -x)=\sin (90^{\circ}+40^{\circ} -x)=\cos (40^{\circ} -x)$

2) $\displaystyle{tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{1+cosx}=$

$\displaystyle{=\frac{1-\frac{a}{b+c}}{1-\frac{a}{b+c}}=\frac{\frac{b+c-a}{b+c}}{\frac{a+b+c}{b+c}}=\frac{b+c-a}{a+b+c}}$ .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι: $\displaystyle{tan^2\frac{y}{2}=\frac{a+c-b}{a+b+c},tan^2\frac{z}{2}=\frac{a+b-c}{a+b+c}}$

Συνεπώς:
$\displaystyle { \tan^{2}\frac{x}{2}+\tan^{2}\frac{y}{2}+\tan^{2}\frac{z}{2}=}$
$\displaystyle{=\frac{2a-a+2b-b+2c-c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1}$

#3

...ας συνεχίσω

kostas136 έγραψε:3) Λύστε την εξίσωση: $3\sin ^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos ^{2}x=0$

γράφεται $(\cos x -\sqrt 3 \sin x)^2=0$

kostas136 έγραψε:4) Αποδείξτε ότι: $\displaystyle{ \displaystyle \frac{\tan ^{2}(2x)-\tan ^{2}(x)}{1-\tan ^{2}(2x) \tan ^{2}(x)}=\tan (3x)\tan (x)}$

$\displaystyle{ \displaystyle \frac{\tan ^{2}(2x)-\tan ^{2}(x)}{1-\tan ^{2}(2x) \tan ^{2}(x)}=\frac{\tan (2x)+\tan (x)}{1-\tan (2x) \tan (x)}\cdot \frac{\tan (2x)-\tan(x)}{1+\tan (2x) \tan (x)}=\tan (3x)\cdot \tan (x)}$

#4

Με πρόλαβε η Φωτεινή

,
αλλά είναι μια άλλη προσέγγιση ...

3) $3\sin ^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos ^{2}x=0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 3 \cdot \frac{1-cos2x}{2}-\sqrt{3}\sin 2x+\frac{1+cos2x}{2}=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{3-3cos2x+1+cos2x}{2}=\sqrt{3}\sin 2x \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{4-2cos2x}{2}=\sqrt{3}\sin 2x \Leftrightarrow 2-cos2x=\sqrt{3}\sin 2x \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2=cos2x+\sqrt{3}\sin 2x \Leftrightarrow 1=\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 1=sin\frac{\pi}{6}cos2x+\cos\frac{\pi}{6}\sin 2x \Leftrightarrow sin\frac{\pi}{2}=sin\left(2x+\frac{\pi}{6} \right)\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\Leftrightarrow2x+\frac{\pi}{6}=2k\pi +\frac{\pi}{2}, k \in Z }$ ή $\displaystyle{2x+\frac{\pi}{6}=2k\pi +\pi-\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x=k\pi +\frac{\pi}{6}, k \in Z }$ .

manos1992 · #5

Άλλη λύση για την 3(στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι δολοφονία κουνουπιού με πολυβόλο αλλά γενικά είναι πολύ διδακτική πιστεύω!)

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι ομογενής...

Αν ήταν cosx=0

παίρνουμε και sinx=0

πράγμα άτοπο

άρα $cosx\neq 0$ και διαιρώντας με cos^2x

είναι τριώνυμο ως προς tanx

που λύνεται εύκολα..

Να σημειώσω ότι αν στο δεύτερο μελος δεν ήταν το 0 αλλά κάποιο $c\in \mathbb{R}$ θα το γράφαμε

c(sin^2x+cos^2x)

και θα κάναμε τα ίδια...

kostas136 · #6

Θαυμάσια, σας ευχαριστώ για την ενασχόληση.

Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση