Ορθογώνιο και ισοσκελές

#1

Αν σε τρίγωνο ABC

ισχύει η σχέση $\displaystyle \cos B\cos C + \sin A\sin B\sin C = 1,$

να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

abgd · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 10, 2023 9:52 am
Αν σε τρίγωνο ισχύει η σχέση $\displaystyle \cos B\cos C + \sin A\sin B\sin C = 1,$

να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Απόδειξη

$\displaystyle{ \cos B\cos C + \sin A\sin B\sin C = 1}$

$\displaystyle{\sin A\sin B\sin C = 1-\cos B\cos C}$

Υψώνοντας τα δύο μέλη στο τετράγωνο...

$\displaystyle{\sin^2 A\sin^2 B\sin^2 C = 1+\cos^2 B\cos^2 C-2cos B cos C}$

$\displaystyle{\sin^2 A\sin^2 B\sin^2 C = 1+(1-\sin^2 B)(1-\sin^2 C)-2cos B cos C}$

$\displaystyle{\sin^2 A\sin^2 B\sin^2 C = 2-\sin^2 B-\sin^2 C+sin^2 B sin^2 C-2cos B cos C}$

$\displaystyle{0= 1-\sin^2 B+1-\sin^2 C+sin^2 B sin^2 C-\sin^2 A\sin^2 B\sin^2 C -2cos B cos C}$

$\displaystyle{0= \cos^2 B+cos^2 C-2cos B cos C+sin^2 B sin^2 C(1-\sin^2 A) }$

$\displaystyle{0=\left(\cos B-cos C \right)^2 +sin^2 B sin^2 C cos^2 A }$

$\displaystyle{\cos B= \cos C }$ και $\displaystyle{\sin B \sin C \cos A=0}$

Εφόσον $\displaystyle{A, B, C }$ γωνίες τριγώνου...

$\displaystyle{B=C}$ και $\displaystyle{A=\frac{\pi}{2} }$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 10, 2023 9:52 am
Αν σε τρίγωνο ισχύει η σχέση $\displaystyle \cos B\cos C + \sin A\sin B\sin C = 1,$

να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Αλλιώς. Αν η γωνία

δεν είναι ορθή, τότε:

$\displaystyle 1 - \cos B\cos C = \sin A\sin B\sin C < \sin B\sin C \Leftrightarrow \cos (B - C) > 1$ που είναι άτοπο.

Άρα, $\widehat A=90^\circ$ και $\displaystyle \cos (B - C) = 1 \Leftrightarrow \widehat B = \widehat C$

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση