τριγωνομετρική ανισότητα...

#1

Να αποδείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :
$\displaystyle{\displaystyle \frac{1} {{\sin ^2 {\rm A}}} + \frac{1} {{\sin ^2 {\rm B}}} + \frac{1} {{\sin ^2 \Gamma }} \geqslant 4 }$ .

#2

Η συνάρτηση $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}$ είναι κυρτή συνεπώς από την ανισότητα Jensen έχουμε

$f(A)+f(B)+f(C)\geq 3f\left(\displaystyle\frac{A+B+C}{3}\right)$ άρα

$\displaystyle\frac{1}{\sin^2A}+\frac{1}{\sin^2B}+\frac{1}{\sin^2C} \geq 3\frac{1}{\sin^2\frac{A+B+C}{3}} = 3\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{3}}=4.$

Αλέξανδρος

kostas136 · #3

Γειά σας. Μια άλλη λύση.

Στην δοσμένη ανισοϊσότητα αν αντικαταστήσουμε στην θέση του 1 (στους αριθμητές) την σχέση $\eta \mu^{2}A + \sigma \upsilon \nu ^{2}A$ , (βέβαια με την αντίστοιχη γωνία σε κάθε κλάσμα) τότε προκύπτει η ισοδύναμη: $\sigma \phi ^{2}A + \sigma \phi ^{2}B + \sigma \phi ^{2}\Gamma \geq 1$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε αυτήν. Όμως ισχύει ότι:
$\sigma \phi ^{2}A + \sigma \phi ^{2}B + \sigma \phi ^{2}\Gamma \geq \sigma \phi A \sigma \phi B + \sigma \phi B \sigma \phi \Gamma + \sigma \phi A \sigma \phi \Gamma \geq \sigma \phi A \sigma \phi B - \sigma \phi B \sigma \phi (A+B) - \sigma \phi A \sigma \phi (A+B) = \sigma \phi A \sigma \phi B - \sigma \phi (A+B) (\sigma \phi A + \sigma \phi B) = \sigma \phi A \sigma \phi B - \sigma \phi A \sigma \phi B +1=1$

#4

Πολύ καλή η λύση σου Κώστα!

Αλέξανδρος

#5

chris_gatos έγραψε:Να αποδείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :
$\frac{1} {{\sin ^2 {\rm A}}} + \frac{1} {{\sin ^2 {\rm B}}} + \frac{1} {{\sin ^2 \Gamma }} \geqslant 4$ .

Άλλη λύση, της λίγο ισχυρότερης ανίσωσης

$\frac{1} {{\sin ^2 {\rm A}}} + \frac{1} {{\sin ^2 {\rm B}}} + \frac{1} {{\sin ^2 \Gamma }} \geqslant \frac{2R}{\rho}$

που δίνει τη ζητούμενη διότι, από ανίσωση Euler, $R \ge 2\rho$ . Εδώ ρ=ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Θα χρειαστούμε τoυς τύπους Ε = ρτ, αβγ = 4RE.

Πράγματι, από τον νόμο των ημιτόνων είναι

$\frac{1} {{\sin ^2 {\rm A}}} + \frac{1} {{\sin ^2 {\rm B}}} + \frac{1} {{\sin ^2 \Gamma }} = \frac{4R^2} {a^2} + \frac{4R^2} {b^2}+ \frac{4R^2} {c^2} \ge 4R^2(\frac {1}{ab} + \frac {1}{bc} +\frac {1}{ca}) = \\ \\= 4R^2\frac {a+b+c}{abc} = \frac{8R^2 \tau}{abc}= 8R^2 \frac{E}{\rho} \frac{1}{4RE}= \frac{2R}{\rho}$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

kostas136 · #6

Αλέξανδρε, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Περιττό να σου πώ πόσο σε θαυμάζω, έχοντας διαβάσει πολλές από τις λύσεις σου στον λίγο χρόνο που είμαι μέλος. Και ευχαριστούμε πολύ και τον καθηγητή κ. Λάμπρου για την λύση που μας έδωσε, η οποία - διαβάζοντάς την - μας κάνει σίγουρα καλύτερους.

nicolae · #7

Και μία ισχυρότερη:
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ είναι:
$\displaystyle\sum\frac{1}{\sin^2A}=\frac{2R}{\rho}\geq\frac{4\sqrt{3}\tau}{9\rho}\geq4$

τριγωνομετρική ανισότητα...

τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Μέλη σε σύνδεση