τριγωνομετρικη

sorfan · #1

Καλησπέρα
Να λυθεί η εξίσωση $\left( cosx\right)^{9}+\left(sinx \right)^{6}=1$
Έχω μια λύση με πολυώνυμα αλλά πρέπει να υπάρχει και κάτι πιο εύκολο.
Θα ήθελα και τις δικές σκέψεις.

#2

Αν

μία λύση της εξίσωσης, έχουμε

$\displaystyle{\cos ^{9} x =1-\sin ^{6} x \geq 0}$

άρα $\displaystyle{\cos x \geq 0.}$

Τότε είναι

$\displaystyle{1=\sin ^{2}x +\cos ^{2}x \geq \sin ^{6}x +\cos ^{9} x =1.}$

Άρα ισχύει $\displaystyle{\sin ^{2}x =\sin ^{6}x }$ και $\displaystyle{\cos ^{2}x =\cos ^{9}x ,}$

δηλαδή

( $\displaystyle{\sin x=0}$ ή $\displaystyle{\sin x=1}$ ή $\displaystyle{\sin x =-1}$ ) και ( $\displaystyle{\cos x=0}$ ή $\displaystyle{\cos x =1.}$ )

Έχουμε επομένως, τις εξής δυνατότητες:

$\displaystyle{\sin x=0 , \cos x =1}$ δηλαδή $\displaystyle{x=2k\pi, k\in \mathbb{Z}}$

$\displaystyle{\sin x=1, \cos x=0}$ δηλαδή $\displaystyle{x=2k\pi +\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle{\sin x =-1, \cos x=0}$ δηλαδή $\displaystyle{x=2k\pi -\frac{\pi}{2}.}$

Προφανώς, όλοι οι παραπάνω αριθμοί είναι λύσεις της εξίσωσης.

#3

Προφανείς λύσεις: $\displaystyle x = 2\kappa \pi ,\;\kappa \in {\rm Z},\;\;x = 2\lambda \pi \pm \frac{\pi }{2},\;\lambda \in {\rm Z}$

Για $\displaystyle x \ne 2\lambda \pi \pm \frac{\pi }{2},\;\lambda \in {\rm Z}\;\kappa \alpha \iota \;\;x \ne 2\kappa \pi ,\;\kappa \in {\rm Z}$

$\displaystyle \begin{array}{l} \sigma \upsilon \nu ^9 x = 1 - \left( {1 - \sigma \upsilon \nu ^2 x} \right)^3 \; \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu ^9 x = \sigma \upsilon \nu ^2 x\left( {1 + 1 - \sigma \upsilon \nu ^2 x + \left( {1 - \sigma \upsilon \nu ^2 x} \right)^2 } \right) \\ \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu ^7 x = \sigma \upsilon \nu ^4 x - 3\sigma \upsilon \nu ^2 x + 3\; \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu ^7 x - \sigma \upsilon \nu ^4 x + 3\sigma \upsilon \nu ^2 x - 3 = 0 \\ \end{array}$

$\displaystyle \begin{array}{l} \sigma \upsilon \nu ^4 x\left( {\sigma \upsilon \nu ^3 x - 1} \right) + 3\left( {\sigma \upsilon \nu ^2 x - 1} \right) = 0\; \Leftrightarrow \; \\ \sigma \upsilon \nu ^4 x\left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right)\left( {\sigma \upsilon \nu ^2 x + \sigma \upsilon \nu x + 1} \right) + 3\left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right)\left( {\sigma \upsilon \nu x + 1} \right) = 0\; \Leftrightarrow \\ \left( {\sigma \upsilon \nu x - 1} \right)\left( {\sigma \upsilon \nu ^6 x + \sigma \upsilon \nu ^5 x + \sigma \upsilon \nu ^4 x + 3\sigma \upsilon \nu x + 3} \right) = 0\; \Leftrightarrow \\ \sigma \upsilon \nu ^6 x + \sigma \upsilon \nu ^5 x + \sigma \upsilon \nu ^4 x + 3\sigma \upsilon \nu x + 3 = 0 \\ \end{array}$

Επειδή $\displaystyle \sigma \upsilon \nu ^9 x = 1 - \eta \mu ^6 x \ge 0\; \Rightarrow \;\sigma \upsilon \nu x \ge 0$ , οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη.
Μοναδικές λύσεις οι προφανείς, αρχικές.

Γιώργος Ρίζος

edit: Πρόλαβε ο Θάνος!

matha έγραψε: Τότε είναι
$\displaystyle{1=\sin ^{2}x +\cos ^{2}x \geq \sin ^{6}x +\cos ^{9} x =1.}$

Άρα ισχύει $\displaystyle{\sin ^{2}x =\sin ^{6}x }$ και $\displaystyle{\cos ^{2}x =\cos ^{9}x ,}$

Θάνο, αν είναι εύκολο, θα ήθελα να αναλύσεις λίγο παραπάνω τη μέθοδο σ' αυτό το σημείο.

sorfan · #4

Γιώργο την ίδια σκέψη έκανα και εγώ με τη διαφορά ότι έθεσα το συνχ με y και σχημάτισα μια πολυωνυμική.
Η σκέψη του Θάνου ήταν διαφορετική.

#5

$\sigma \upsilon \nu ^9x = 1 - \eta \mu ^6x = 1 - (\eta \mu ^2x)^3 = (1 - \eta \mu ^2x)\cdot (1+\eta \mu ^2x+\eta \mu ^4x)= \sigma \upsilon \nu ^2x\cdot (1+\eta \mu ^2x+\eta \mu ^4x)$ άρα
$\sigma \upsilon \nu ^2x (\sigma \upsilon \nu ^7x-(1+\eta \mu ^2x+\eta \mu ^4x))=0$
συνx = 0 ή $\sigma \upsilon \nu ^7x=1+\eta \mu ^2x+\eta \mu ^4x = 1 + 1 -\sigma \upsilon \nu ^2x + (1-\sigma \upsilon \nu ^2x)^2 \Rightarrow \sigma \upsilon \nu ^7x -\sigma \upsilon \nu ^4x + 3\sigma \upsilon \nu ^3x - 3=0 \Rightarrow \sigma \upsilon \nu ^4x(\sigma \upsilon \nu ^3x -1) + 3(\sigma \upsilon \nu ^3x -1)=0 \Rightarrow \sigma \upsilon \nu ^3x =1$
άρα συνx= 1 και συνx = 0 και βρίσκουμε ρίζες

δεν ξέρω γιατί δεν διαβάζεται σωστά
Χρήστος

Ανδρέας Πούλος · #6

Νομίζω ότι η παρουσίαση αυτή είναι πιο "οικονομική".
Η εξίσωση γράφεται:
$cos^{9}x = 1 -sin^{6}x$ = $1^{3} - \left(sin^{2}x \right)^{3}$ =
= $\left(1-sin^{2}x \right)\left(1 + sin^{2}x + sin^{4}x \right)=cos^{2}x\left(1 + sin^{2} +sin^{4}x \right)$ .
Ένα είδος λύσεων της εξίσωσης είναι οι αριθμοί που ικανοποιουν την cosx = 0.
Αν δεν ισχύει αυτό τότε έχουμε $cos^{7}x =1 + sin^{2}x + sin^{4}x$ .
Επειδή το αριστερό μέλος της ισότητας είναι μικρότερο ή ίσο με το 1 και το δεξί μέλος μεγαλύτερο ή ίσο του 1. Η ισότητα θα ισχύει μόνο όταν τα δύο μέλη είναι 1. Δηλαδή cosx = 1.
Άρα, οι μοναδικές τιμές του x που είναι λύσεις της εξίσωσης είναι αυτές που δίνουν cosx = 0 ή cosx = 1.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#7

Rigio έγραψε:

matha έγραψε: Τότε είναι
$\displaystyle{1=\sin ^{2}x +\cos ^{2}x \geq \sin ^{6}x +\cos ^{9} x =1.}$

Άρα ισχύει $\displaystyle{\sin ^{2}x =\sin ^{6}x }$ και $\displaystyle{\cos ^{2}x =\cos ^{9}x ,}$
Θάνο, αν είναι εύκολο, θα ήθελα να αναλύσεις λίγο παραπάνω τη μέθοδο σ' αυτό το σημείο.

Επειδή είναι

$\displaystyle{\sin ^{2}x \leq 1}$ , είναι και $\displaystyle{\sin ^{6}x \leq \sin ^{2}x}$ .

Επίσης, επειδή $\displaystyle{0\leq \cos x \leq 1}$ , είναι $\displaystyle{\cos ^{9}x \leq \cos ^{2}x.}$

Άρα $\displaystyle{1=\sin ^{6}x +\cos ^{9}x \leq \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}$

Επομένως, πρέπει να ισχύει παντού ισότητα. Άρα $\displaystyle{\sin ^{6}x=\sin ^{2}x}$ και

$\displaystyle{\cos ^{9}x =\cos ^{2}x}$ κ.τ.λ.

#8

Θάνο, ευχαριστώ πολύ για τις διευκρινήσεις!

Γιώργος Ρίζος

τριγωνομετρικη

τριγωνομετρικη

Re: τριγωνομετρικη

Re: τριγωνομετρικη

Re: τριγωνομετρικη

Re: τριγωνομετρικη

Re: τριγωνομετρικη

Re: τριγωνομετρικη

Re: τριγωνομετρικη

Μέλη σε σύνδεση