Εξίσωση (λογαριθμική μεν αλλά...)

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση
$\displaystyle\frac{{\ln ({x^2})}}{{{{(\ln x)}^2}}} + \frac{{\ln ({x^3})}}{{{{(\ln x)}^3}}} + \frac{{\ln ({x^4})}}{{{{(\ln x)}^4}}} + \cdots = 8$

#2

Κατ'αρχήν ας ονομάσουμε S το άθροισμα του πρώτου μέλους.

Αυτό ορίζεται για x στο (0,1) ή x στο (1,+οο).

Eπιπλέον:

$\displaystyle{ S = \frac{2}{{\ln x}} + \frac{3}{{(\ln x)^2 }} + \frac{4}{{(\ln x)^3 }} + .... }$
(1)
Αν πολλαπλασιάσω το S επί το $\displaystyle{ \frac{1}{{\ln x}} }$

έχω:

$\displaystyle{ \frac{1}{{\ln x}}S = \frac{2}{{\left( {\ln x} \right)^2 }} + \frac{3}{{(\ln x)^3 }} + \frac{4}{{(\ln x)^4 }} + .... }$
(2)

Αφαιρώντας (1)-(2) =>

$\displaystyle{ (1 - \frac{1}{{\ln x}})S = \frac{2}{{\ln x}} + \frac{1}{{\left( {\ln x} \right)^2 }} + \frac{1}{{(\ln x)^3 }} + \frac{1}{{(\ln x)^4 }} + .... }$

Τώρα οι άπειροι όροι :

$\displaystyle{ \frac{1}{{\left( {\ln x} \right)^2 }},\frac{1}{{(\ln x)^3 }},\frac{1}{{(\ln x)^4 }}.... }$

σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με λόγο $\displaystyle{ \frac{1}{{\ln x}} }$

Το άθροισμα αυτό είναι πεπερασμένο(συγκλίνει) όταν:

$\displaystyle{ |\frac{1}{{\ln x}}| < 1 \Rightarrow |\ln x| > 1 \Rightarrow \ln x < - 1 \vee \ln x > 1 \Rightarrow 0 < x < \frac{1}{e} \vee x > e }$

Τότε και μόνο τότε:

$\displaystyle{ (1 - \frac{1}{{\ln x}})S = \frac{2}{{\ln x}} + \frac{{\frac{1}{{(\ln x)^2 }}}}{{1 - \frac{1}{{\ln x}}}} \Rightarrow (1 - \frac{1}{{\ln x}})S = \frac{2}{{\ln x}} + \frac{1}{{\ln x(\ln x - 1)}} }$

και μιάς και το lnx είναι διαφορετικό απο το μηδέν αλλά και S=8:

$\displaystyle{ 8(\ln x - 1) = 2 + \frac{1}{{(\ln x - 1)}} \Rightarrow 8(\ln x - 1)^2 - 2(\ln x - 1) - 1 = 0 }$

απ'όπου θέτοντας y=lnx-1 και επιλύοντας :

$\displaystyle{ 8y^2 - 2y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \vee y = - \frac{1}{4} \Rightarrow \ln x = \frac{3}{2} \vee \ln x = - \frac{1}{4} \Rightarrow x = e^{\frac{3}{2}} \vee x = e^{ - \frac{1}{4}} }$

Η δεύτερη απορρίπτεται.

Αρα

$\displaystyle{ x = e^{\frac{3}{2}} }$

που επαληθεύει.

mathxl · #3

Ωραία λύση Χρήστο

Εξίσωση (λογαριθμική μεν αλλά...)

Εξίσωση (λογαριθμική μεν αλλά...)

Re: Εξίσωση (λογαριθμική μεν αλλά...)

Re: Εξίσωση (λογαριθμική μεν αλλά...)

Μέλη σε σύνδεση