Μέγιστο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 1378 φορές

Τρίγωνο έχει τις κορυφές του A,B,C

- από μία - σε τρεις ομόκεντρους κύκλους με ακτίνες 3,2,1

αντίστοιχα .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου . Για τους υπολογισμούς , μη διστάσετε να χρησιμοποιήσετε λογισμικό .

KARKAR · #2

Ας δώσω μια υπόδειξη : Χωρίς βλάβη της γενικότητας , μπορούμε να υποθέσουμε ότι η βάση

,

είναι οριζόντια . Σε ποιό σημείο του μεγάλου κύκλου θα πρέπει , τότε , να τοποθετηθεί η κορυφή

?

S.E.Louridas · #3

Πάντως Θανάση θα ήθελα να αναφέρω ότι ισχύει σίγουρα: $\displaystyle{\left( {ABC} \right)_{\max } < 5.}$

#4

Απέσυρα μία συγκεκριμένη προσέγγιση γιατί μάλλον είναι προβληματική.
Αν μπορέσω να την "επιδιορθώσω" θα επανέλθω,
Ευχαριστώ τον ΚΑΡΚΑR που μου έστειλε σχετικό pm.

#5

Γράφω μία αντιμετώπιση που είχα αναρτήσει πριν με κάποιες διορθώσεις και συμπληρώσεις. Αρχικά νόμιζα ότι θα βγει σύντομη αλλά δυστυχώς αυτό δεν συνέβη.

Ας δούμε το θέμα κάπως πιο γενικά. Έστω OA=a,OB=b,OC=c

.
Κατ΄αρχάς υποθέτουμε ότι το σημείο

είναι εκτός του τριγώνου ABC

. Δείχνουμε ότι τότε υπάρχει τρίγωνο με τις ίδιες "προδιαγραφές" αλλά μεγαλύτερο εμβαδόν.
Αυτό γίνεται αν πάρουμε αντί κάποιων αρχικών κορυφών συμμετρικές τους ως προς

:
α) Εδώ αντικαταστήσαμε το ABC

με το

: maximum03.png (28.25 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

β) Εδώ αντικαταστήσαμε το ABC

με το

: maximum04.png (31.79 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

'Αρα μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι το είναι εσωτερικό σημείο του .
Aς ονομάσουμε x,y,z

τις (κυρτές) γωνίες που σχηματίζουν οι OA,OB,OC

κατά την θετική φορά. Ισχύει $x+y+z=2 \pi$
Το εμβαδόν που πρέπει να μεγιστοποιήσουμε είναι το
$E=\frac{1}{2}ab\sin x+\frac{1}{2}bc\sin y+\frac{1}{2}ca\sin z$
Κάθε μία από τις y,z

είναι μικρότερη του $\pi$ και τουλάχιστον δύο από τις x,y,z

είναι αμβλείες. Ας υποθέσουμε ότι είναι οι y,z

. Ας υποθέσουμε ότι η

είναι οξεία.
Θα δείξουμε ότι υπάρχει η δυνατότητα να μεγαλώσουμε την

και να μικρύνουμε την

ώστε
1) το άθροισμα τους να μην αλλάξει
2) και οι δύο να γίνουν αμβλείες
3) το

να αυξηθεί.
Πράγματι υπάρχει t>0

ώστε
$x=\frac{\pi}{2}-t-r$
$y=\frac{\pi}{2}+2t+r+m$

: maximum01.png (7.23 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

και αν πάρουμε
$x^{\prime }=\frac{\pi}{2}+t$ , $y^{\prime }=\frac{\pi}{2}+m$
είναι
$x+y=\pi+t+m=\left( \frac{\pi}{2}+t\right) +\left( \frac{\pi}{2}+m\right) =x^{\prime }+y^{\prime }$
$\sin x<\sin \left( \frac{\pi}{2}-t\right) =\sin \left( \frac{\pi}{2}+t\right) =\sin x^{\prime }$
$\sin y<\sin y^{\prime }$
Επομένως η παράσταση
$E^{\prime }=\frac{1}{2}ab\sin x^{\prime }+\frac{1}{2}bc\sin y^{\prime }+\frac{1}{2}ca\sin z$
είναι μεγαλύτερη από την

.
Eπομένως μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι οι είναι αμβλείες και με αυτή την υπόθεση να μεγιστοποιήσουμε τo .
Αυτό γράφεται και
$E=\frac{1}{2}ab\cos \left( x-\frac{pi}{2}\right) +\frac{1}{2}bc\sin \left( y-\frac{pi}{2}\right) +\frac{1}{2}ca\sin \left( z-\frac{pi}{2}\right)$
και
$x-\frac{\pi}{2}+y-\frac{\pi}{2}+z-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$
Θεωρούμε διανύματα $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ με μέτρα a,b,c

που ανά δύο σχηματίζουν γωνία ίση με $x-\frac{\pi}{2},y-\frac{\pi}{2},z-\frac{\pi}{2}$
'Οπως σωστά επισημαίνει πιο κάτω ο Κώστας Ρεκούμης η θεώρηση αυτή είναι αυθαίρετη και επομένως η προσέγγιση με εσωτερικά γινόμενα είναι εσφαλμένη.
Είναι:
$E=\frac{1}{2}\left( \vec{u}\vec{v}+\vec{v}\vec{w}+\vec{w}\vec{u}\right) =$
$\frac{1}{4}\left( \left( \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\right) ^{2}-\left\vert \vec{u}\right\vert ^{2}-\left\vert \vec{v}\right\vert ^{2}-\left\vert \vec{w}\right\vert ^{2}\right)$
$=\frac{1}{4}\left( \left\vert \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\right\vert ^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}\right)$
Άρα το εμβαδόν γίνεται μέγιστο όταν μεγιστοποιηθεί το $\left\vert \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\right\vert$
Αφού οι $x-\frac{\pi}{2},y-\frac{\pi}{2},z-\frac{\pi}{2}$ έχουν άθροισμα $\frac{\pi}{2}$ και είναι οξείες και η πιο μεγάλη από αυτές θα είναι ίση με το άθροισμα των αλλων δύο άρα θα είναι $\frac{\pi}{4}$
Επομένως δύο από τα $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ σχηματίζουν γωνία $\frac{\pi}{4}$ και το τρίτο θα είναι περιέχεται σε αυτή την γωνία.

: maximum02.png (3.28 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Το έρώτημα είναι "ποια δύο;". Επειδή το μέτρο του αθροίσματος θα μεγιστοποιηθεί όταν το ένα από αυτά γίνει ομόρροπο με το άθροισμα ταν άλλων οι δυνατές μέγιστες τιμέ του $\left\vert \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}\right\vert$
είναι
$\sqrt{a^{2}+b^{2}+ab\sqrt{2}}+c,\sqrt{b^{2}+c^{2}+bc\sqrt{2}}+a,\sqrt{c^{2}+a^{2}+ca\sqrt{2}}+b$
Αν υποτεθεί ότι $a\geq b\geq c$ τότε εύκολα διαπιστώνεται ότι η μέγιστη τιμή του αθροίσματος είναι η $\sqrt{b^{2}+c^{2}+bc\sqrt{2}}+a$
Οπότε μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι:
$\frac{1}{4}\left( \left( \sqrt{b^{2}+c^{2}+bc\sqrt{2}}+a\right) ^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}\right) =\allowbreak \frac{1}{2}a\sqrt{b^{2}+\sqrt{2}bc+c^{2}}+\frac{1}{4}\sqrt{2}bc$
Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος για τα συγκεκριμένα νούμερα βρίσκω μέγιατη τιμή του αθροίσματος την τιμή $\frac{1}{2}3\sqrt{2^{2}+2\sqrt{2}+1^{2}}+\frac{2}{4}\sqrt{2}=\allowbreak \frac{3}{2}\sqrt{2\sqrt{2}+5}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=\allowbreak 4.\,\allowbreak 904$
Οι γωνίες x,y,z

υπολογίζονται. Είναι
$y=\frac{\pi }{2}+\widehat{\left( \vec{v},\vec{y}\right) }=\frac{3\pi }{4}$
$z=\frac{\pi }{2}+\widehat{\left( \vec{v},\vec{u}\right) }$
$x=\frac{\pi }{2}+\widehat{\left( \vec{u},\vec{v}\right) }$
από τις οποίες βρίσκουμε και τις θέσεις των A, B, C

.

: maximum05.png (210.33 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Ασφαλώς θα υπάρχει και πιο σύντομη προσέγγιση ταιριαστή με τον παρόντα φάκελο.
Μαυρογιάννης

KARKAR · #6

: Μέγιστο εμβαδόν.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Ας δώσω τις ημέτερες σκέψεις : Αν η βάση

έχει δεδομένη θέση ( εδώ οριζόντια ) , τότε η κορυφή

, θα πρέπει

να τοποθετηθεί στο σημείο , που η εφαπτομένη του μεγάλου κύκλου είναι παράλληλη στην

( εδώ ο βόρειος πόλος ) .

( Το ίδιο συμβαίνει με τις άλλες κορυφές , δηλαδή εν τέλει το

είναι το ορθόκεντρο του ζητούμενου τριγώνου )

Ονομάζω

την απόσταση της

από το

. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι : $\displaystyle \frac{1}{2}(x+3)\left(\sqrt{4-x^2}+\sqrt{1-x^2} \right)$ .

Το μέγιστο αυτής της παράστασης ( βρέθηκε με χρήση λογισμικού !) , είναι περίπου 4,90482

Σημείωση : Μπορούμε να έχουμε επιβεβαίωση του αποτελέσματος , χρησιμοποιώντας ως βάση , την

, ή την

.

Σημείωση 2 : Αν η παραπάνω λύση είναι σωστή , τότε η μεγαλύτερη γωνία είναι 136,83^0

και όχι

S.E.Louridas · #7

Πράγματι αν υποθέσουμε c<b<a

για την γενική περίπτωση που αναφέρθηκε ο Νίκος και με βάση το σχήμα του Θανάση παίρνουμε σαν συνάρτηση της οποίας ζητάμε το Μέγιστο την $f:\left[ {0,c} \right] \to {\Cal R},\;f\left( x \right) = \left( {x + a} \right)\left( {\sqrt {c^2 - x^2 } + \sqrt {b^2 - x^2 } } \right),$ με

$\displaystyle{f{'} :\left[ {0,c} \right) \to {\Cal R},\quad f{'} \left( x \right) = - \left( {\frac{{2x^2 + ax - c^2 }} {{\sqrt {c^2 - x^2 } }} + \frac{{2x^2 + ax - b^2 }} {{\sqrt {b^2 - x^2 } }}} \right),}$
από όπου κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι, $\left[ {f{'} \left( 0 \right)} \right]\left[ {\mathop {\lim f{'} \left( 0 \right)}\limits_{x \to c^ - } } \right] < 0.$
Στη περίπτωση που x_0

είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου μετά από πράξεις διαπιστώνουμε: $f{'} \left( {x_0 } \right) = 0 \Leftrightarrow 2ax_0^3 + \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right)x^2 - c^2 b^2 = 0.$
Βέβαια εδώ θα πρέπει να υπενθυμίσουμε ότι κάθε τριτοβάθμια εξίσωση επιλύεται.
Όμως κατά την άποψη μου η διαδικασία αυτή θα πρέπει να επαναληφθεί στις τρεις περιπτώσεις που ανέφερε ο Θανάσης στην πρώτη του σημείωση.
Επιτρέψτε μου να αναφέρω ότι το μέγιστο του εμβαδού όταν c=1, b=2, a=3

είναι μικρότερο του 5 έχει διαπραγματευθεί στο τελευταίο μου βιβλίο που έχω συγγράψει με τον Μιχαήλ Ρασσιά από τις εκδόσεις Springer, για τούτο και το ανέφερα σχεδόν άμεσα ώστε να υπάρξει ελεγκτικό στίγμα του αποτελέσματος.

(*) Σαν σκέψη και μόνο,
Αν θεωρήσουμε ορθογώνιο σύστημα με αρχή το κέντρο

, τότε $A\left( {x_A ,y_A } \right),\;B\left( {x_B ,y_B } \right),\;C\left( {x_C ,y_C } \right)$ με $x_A ,y_A \in \left[ {0,3} \right],\;\;x_B ,y_B \in \left[ {0,2} \right]\;\;x_C ,y_C \in \left[ {0,1} \right] \Rightarrow$ $\left( {ABC} \right) = E\left( {x_A ,x_B ,x_C ,y_A ,y_B ,y_C } \right)$ (Από τον γνωστό τύπο της ορίζουσας που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις τρεις κορυφές του) και $x_A^2 + y_A^2 = a^2 ,\;\;x_B^2 + y_B^2 = b^2 ,\;\;x_C^2 + y_C^2 = c^2 .$
Γίνεται κάτι με πολλαπλασιαστές Lagrange;
Η ενασχόληση θέλει κάποιον χρόνο.

edit: Τοποθέτηση της σκέψης.

#8

KARKAR έγραψε:Σημείωση 2 : Αν η παραπάνω λύση είναι σωστή , τότε η μεγαλύτερη γωνία είναι και όχι

$\approx 136,833^0$ βγάζω και εγώ ( $\approx (6,2832-3,963)+0,068$ σε ακτίνια) χρησιμοποιώντας λογισμικό εξ αρχής:

Γιώργος Μπαλόγλου

#9

nsmavrogiannis έγραψε:
................
$x-\frac{\pi}{2}+y-\frac{\pi}{2}+z-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$
Θεωρούμε διανύματα $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ με μέτρα που ανά δύο σχηματίζουν γωνία ίση με $x-\frac{\pi}{2},y-\frac{\pi}{2},z-\frac{\pi}{2}$
................

Δεν μπορούμε να θεωρήσουμε πάντα τρία τέτοια διανύσματα. Ας πούμε, τρία διανύσματα που να σχηματίζουν ανά δύο οξείες γωνίες 30^o, 50^o, 10^o

δεν υπάρχουν.

#10

rek2 έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:
................
$x-\frac{\pi}{2}+y-\frac{\pi}{2}+z-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$
Θεωρούμε διανύματα $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ με μέτρα που ανά δύο σχηματίζουν γωνία ίση με $x-\frac{\pi}{2},y-\frac{\pi}{2},z-\frac{\pi}{2}$ ,
................
Δεν μπορούμε να θεωρήσουμε πάντα τρία τέτοια διανύσματα. Ας πούμε, τρία διανύσματα που να σχηματίζουν ανά δύο οξείες γωνίες δεν υπάρχουν.

Κώστα έχεις απόλυτο δίκιο και ευχαριστώ. Η θεώρηση μου είναι εσφαλμένη και η συγκεκριμένη προσέγγιση με εσωτερικά γινόμενα δεν φαίνεται "επιδιορθώνεται". Έτσι και αλλιώς μπροστά στην απλή λύση που πρότεινε ο Θανάσης φάνταζε πολύ φορτωμένη...

#11

S.E.Louridas έγραψε:Γίνεται κάτι με πολλαπλασιαστές Lagrange;

Χάριν συζήτησης γράφω μία προσέγγιση που έκανα όταν πρωτοείδα την άσκηση στην προσπάθεια μου να μεγιστοποιήσω την παράσταση
$E=\frac{1}{2}ab\sin x+\frac{1}{2}bc\sin y+\frac{1}{2}ca\sin z$
(για την περίπτωση που το

είναι εσωτερικό του τριγώνου που όπως είδαμε η εξέταση αυτής της περίπτωσης είναι αρκετή)
με την συνθήκη
$x+y+z=2\pi\,\,\,\,(*)$
και φυσικά $0<x<\pi$ , $0<y<\pi$ , $0<z<\pi$ .
Θεωρούμε την συνάρτηση
$f\left( x,y,z\right) =ab\sin x+bc\sin y+ca\sin z$
Αυτή είναι ορισμένη στην τομή

του κύβου $\left[ 0,2\pi \right] ^{3}$ με το επίπεδο $x+y+z=2\pi$ .

: Lagrange.png (38.62 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Η

και ως συνεχής σε συμπαγές έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Εύκολα διαπιστώνεται ότι η ελάχιστη τιμή επιτυγχάνεται στο σύνορo του

ενώ η μέγιστη στο εσωτερικό του. Επομένως προκειμένου για το μέγιστο μπορούμε να περιορισθούμε στο εσωτερικό του

που είναι ανοικτό σύνολο και να το αναζητήσουμε με την τεχνική των πολλαπλασιατών του Lagrange. Έστω $g\left( x,y,z\right) =x+y+z-2\pi$
Ζητάμε λύση $\left( x,y,z,\lambda \right)$ του συστήματος
$\nabla \left( f\left( x,y,z\right) -\lambda g\left( x,y,z\right) \right) =0\allowbreak$
$g\left( x,y,z\right) =0$
Δηλαδή ζητάμε λύση του συστήματος:
$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} x + y + z = 2\pi \\ ab\cos x = \lambda \\ bc\cos y = \lambda \\ ac\cos z = \lambda \end{array} \right\}}$
Μπορούμε να καταλήξουμε σε μία εξίσωση για το $\lambda$ αν χρησιμοποιήσουμε την γνωστή ταυτότητα υπό συνθήκη που υπάρχει σε πολλά βιβλία τριγωνομετρίας (λ.χ. στην Τριγωνομετρία του Ιωαν. Πανάκη, ΟΕΔΒ, 1968 σελίδα 11):
Με $x+y+z=2\pi$ ισχύει
$\cos ^{2}x+\cos ^{2}y+\cos ^{2}z-2\cos x\cos y\cos z=1$
Αντικαθιστώντας τα συνημίτονα βρίσκουμε:
$\left( \frac{\lambda }{ab}\right) ^{2}+\left( \frac{\lambda }{bc}\right) ^{2}+\left( \frac{\lambda }{ca}\right) ^{2}-2\frac{\lambda }{ab}\frac{\lambda }{bc}\frac{\lambda }{ca}=1$
από την οποία προκύπτει η
$2\lambda ^{3}-\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \lambda ^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}=0$
Αν θέσουμε
$w\left( \lambda \right) =2\lambda ^{3}-\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \lambda ^{2}+a^{2}b^{2}c^{2}$
τότε βρίσκουμε ότι η $w^{\prime }\left( \lambda \right)$ έχει ρίζες και $\lambda =0$ και $\lambda =\frac{\allowbreak a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$ . Αν για απλότητα θέσουμε $p=a^{2},q=b^{2},r=c^{2}$ βρίσκουμε ότι ρίζες της $w^{\prime }\left( \lambda \right)$ είναι οι αριθμοί

και $\frac{p+q+r}{3}$ και ότι $w\left( \frac{p+q+r}{3}\right) =-\left( \left( \frac{p+q+r}{3}\right) ^{3}-pqr\right) <0$ από την ανισότητα του Cauchy.
Είναι και $w\left( 0\right) =\allowbreak pqr>0$ οπότε η

έχει 3 ρίζες μία αρνητική και δύο θετικές. Αλλά όπως έχει δειχθεί πιο πάνω (στην εσφαλμένη απάντηση που έδωσα) το μέγιστο επιτυγχάνεται με αμβλείες γωνίες επομένως λόγω της $ab\cos x=\lambda$ θα είναι $\lambda <0$ και τελικά το $\lambda$ είναι η αρνητική ρίζα της

. To maple στην γενική περίπτωση μου δίνει τεράστιους τύπους. Στην ειδική περίπτωση όπου a=1

,

δίνει:
$\lambda =-1.\,\allowbreak 45$ από την οποία βρίσκουμε $x=2.\,\allowbreak 381\,8$ , $y=1.\,\allowbreak 814\,9$ , $z=2.\,\allowbreak 075\,3$ .
Κοιτώντας αυτό το πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα μου προέκυψε το ερώτημα: Είναι άραγε το τρίγωνο όπου μεγιστοποιείται το εμβαδόν κατασκευάσιμο; Μάλλον όχι αλλά θέλει κοίταγμα.
Μαυρογιάννης

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση