Επί του περικύκλου

[KARKAR]

Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Ευθεία που διέρχεται από το συμμετρικό του ως προς ,

τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών στα αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα τέμνονται επί του κύκλου .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Ευθεία που διέρχεται από το συμμετρικό του ως προς ,

τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών στα αντίστοιχα . Δείξτε ότι τα τέμνονται επί του κύκλου .

Λόγω της συμμετρίας το είναι το παράκεντρο του τριγώνου και οι είναι εφαπτόμενες του περικυκλίου του τριγώνου και συνεπώς

επειδή στο εκφυλισμένο εξάγωνο οι απέναντι πλευρές του τέμνονται σε σημεία συνευθειακά από το αντίστροφο του Θεωρήματος

του Pascal προκύπτει ότι το είναι εγγράψιμο στον κύκλο άρα το ανήκει στο περικύκλιο του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης