Περί Φ … ο λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

: Περί Φ.JPG (27.22 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Μια προσπάθεια υποβολής μιας νέας (προσωπικής σύνθεσης) άσκησης με το σχήμα εμφανές .

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB=A\Gamma =\beta$ και $\Delta$ το μέσο της $B\Gamma$ .

Αν

η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου , τότε είναι $\frac{B\Gamma }{R}=\sqrt{\Phi + 2}$ όπου $\Phi$ ο λόγος της χρυσής τομής.

Έστω

το σημείο της $A\Gamma$ τέτοιο ώστε $\Delta Z\perp A\Gamma$ και σημείο

της $\Delta Z$ τέτοιο ώστε να ισχύει

$\frac{\left(A\Delta E \right)}{\left(AB\Gamma \right)} =\frac{\Phi +1}{16}$

Αν

η τομή των AE ,BZ

και $S_{1} , S_{2}$ τα εμβαδά των δίσκων των περίκυκλων των τριγώνων

$AB\Gamma ,B\Delta H$ αντίστοιχα τότε να δειχθεί ότι είναι

$\frac{S_{1}}{S_{2}}= 8 -4\Phi$

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα από την Άρτα.

Ας επαναφέρω την άσκηση στην επιφάνεια αφού ως προσωπική κατασκευή εμπεριέχει την πιθανότητα (κίνδυνο)
να υπάρχει σφάλμα (ικανός λόγος για να αγνοηθεί).
Επιθυμία μου λοιπόν είναι να εξεταστεί και από άλλα μάτια αν πράγματι ισχύουν -πριν φτάσουμε στο τελικό ζητούμενο- τα παρακάτω:

$\hat{BA\Gamma }=72^{0}$

$\Delta E =EZ$

$\hat{AHB}=90^{0}$

Σας ευχαριστώ. Συναδελφικά Γιώργος .

Γιώργος Μήτσιος · #3

: Περί ...Φ.JPG (23.68 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

Γεια σας.
Θεωρώ υποχρέωση μου να δώσω λύση στην άσκηση , πρίν την βρει ...στο ράφι ο καινούριος χρόνος !

Είναι $\frac{B\Gamma }{R}=2\eta \mu A\Rightarrow \eta \mu A=\frac{\sqrt{\varphi +2}}{2}$ . Θ.δ.ο $\eta \mu 72^{0}=\frac{\sqrt{\varphi +2}}{2}$ .

Στο σχήμα το Θ. διχοτόμου δίνει $\frac{\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{\beta }{\alpha } \Rightarrow \frac{\beta }{\alpha }=\varphi$
ενώ $\sigma \upsilon \nu 36^{0}=\frac{AM}{A\Delta }=\frac{\beta }{2\alpha }=\frac{\varphi }{2}$

Ακόμη ο Ν.Η δίνει $\frac{\eta \mu 72^{0}}{\eta \mu 36^{0}}=\frac{\beta }{\alpha }=\varphi \Rightarrow \frac{\eta \mu ^{2}72^{0}}{1-\sigma \upsilon \nu ^{2}36^{0}}=\varphi ^{2}$ και τελικά βρίσκουμε $\eta \mu 72^{0}= \frac{\sqrt{\varphi +2}}{2}$
με αντικατάσταση του $\sigma \upsilon \nu 36^{0}$ και χρήση της σχέσης $\varphi ^{2}=\varphi +1$
και εφόσον η $\hat{A}$ είναι οξεία είναι $\hat{A}=72^{0}$ και $\hat{B}=\hat{\Gamma }=54^{0}$
Για το 2) έχουμε τρίγωνα $A\Delta Z\sim A\Delta \Gamma \Rightarrow \frac{\left(A\Delta Z \right)}{\left(A\Delta\Gamma \right)} =\left(\frac{A\Delta }{A\Gamma } \right)^{2}=\eta \mu ^{2}54^{0}=\sigma \upsilon \nu ^{2}36^{0}=\frac{\varphi ^{2}}{4}$ άρα $\frac{\left(A\Delta Z \right)}{(AB\Gamma) }=\frac{\varphi ^{2}}{8}=\frac{\varphi +1}{8}$ συνεπώς προκύπτει $2\left(A\Delta E \right)=\left(A\Delta Z \right)\Rightarrow \Delta E.AZ=\frac{\Delta Z.AZ}{2}\Leftrightarrow 2\Delta E=\Delta Z$ που σημαίνει

μέσον της $\Delta Z$ .

Πάμε στο 3) : Έστω $\hat{ZAE}=\omega ...\hat{BE\Delta }=\vartheta$ τότε στο ορθ.

$A\Delta\Gamma ...\Delta Z^{2} =AZ.Z\Gamma \Rightarrow \frac{2ZE}{AZ}=\frac{Z\Gamma }{\Delta Z}\Rightarrow 2\varepsilon \varphi \omega =\sigma \varphi \Gamma$ . Έίναι $\hat{A\Delta Z } =\hat{\Gamma }$ και πάλι ο Ν.Η δίνει στο τρίγωνο $B\Delta Z..\frac{\eta \mu \left(90^{0}+\Gamma \right)}{BZ}=\frac{\eta \mu \vartheta }{B\Delta }\Rightarrow B\Delta \sigma \upsilon \nu \Gamma =BZ\eta \mu \vartheta$ και στο $BE\Gamma ..\frac{\eta \mu \left(90^{0}+\vartheta \right)}{B\Gamma }=\frac{\eta \mu \Gamma }{BZ}\Rightarrow B\Gamma \eta \mu \Gamma =BZ\sigma \upsilon \nu \vartheta$ .

και με διαίρεση κατά μέλη : $2\varepsilon \varphi \vartheta =\sigma \varphi \Gamma$ .

έτσι βρίσκουμε $\varepsilon \varphi \omega =\varepsilon \varphi \vartheta \Rightarrow \omega =\vartheta$ οπότε $\hat{HEA} +\omega =\hat{{HEA}}+\vartheta =90^{0}\Rightarrow AH\perp BZ$ .
Άρα το $AB\Delta Z$ είναι εγράψιμο με διάμετρο την

$\Rightarrow \frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi R^{2}}{\frac{\pi \beta ^{2}}{4}}=4\left(\frac{R}{\beta } \right)^{2}$

ενώ ισχύει $\frac{\beta }{\eta \mu B}=2R\Rightarrow \frac{R}{\beta }=\frac{1}{\varphi }$
οπότε παίρνουμε
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{\varphi ^{2}}=...=8-4\varphi$ .

Καλές γιορτές σε όλους και με υγεία να καλοδεχθούμε το 2013 . Φιλικά Γιώργος.

Περί Φ … ο λόγος

Περί Φ … ο λόγος

Re: Περί Φ … ο λόγος

Re: Περί Φ … ο λόγος

Μέλη σε σύνδεση