Στη διαγώνιο

#1

: Στην διαγώνιο.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Έστω τετράγωνο ABCD

. Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου

και κέντρου

μέσα

στο τετράγωνο .Η

τέμνει το ημικύκλιο στο

και η

την

στο

.

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

.

Να δειχθεί ότι τα σημεία A,S,C

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Νίκος

kostas_zervos · #2

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Στην διαγώνιο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω τετράγωνο . Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου μέσα

στο τετράγωνο .Η τέμνει το ημικύκλιο στο και η την στο .

Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο .

Να δειχθεί ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Νίκος

: ask126.png (5.76 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές

Έστω

η πλευρά του τετραγώνου.

Ας το αλλάξουμε λίγο...

Αφού φέρουμε την

, φέρνουμε την

που τέμνει την

στο

. Αν αποδείξουμε ότι $BM\parallel CT$ , τότε τα $M\;,\;S$ θα συμπίπτουν , άρα A,S,C

συνευθειακά.

Γι' αυτό αρκεί $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BT}$ .

Αλλά $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AT}{DC}=\dfrac{AT}{AB}$ , οπότε αρκεί $\dfrac{AB}{BT}=\dfrac{AT}{AB}\iff AB^2=AT\cdot BT$ .

Στο $\overset{\triangle}{DKC}$ είναι $KC=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ , άρα $\cos D\widehat{K}C=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ .

Από το νόμο συνημιτόνων στο $\overset{\triangle}{DKE}$ έχουμε $DE=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}-2\dfrac{a^2}{4}\dfrac{\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{a\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\overset{\triangle}{DAT}$ έχουμε $AD^2=DE\cdot DT\iff DT=\dfrac{a^2}{\dfrac{a\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{10}}=\dfrac{a\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}$ , άρα

$AT=\sqrt{DT^2-AD^2}=\sqrt{\dfrac{a^2\left(10+2\sqrt{5}\right)}{4}-a^2}=\dfrac{a\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{2}=\dfrac{a\left(\sqrt{5}+1\right)}{2}$ και

$BT=AT-AB=\dfrac{a\left(\sqrt{5}+1\right)}{2}-a=\dfrac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}$ .

Άρα $AB^2=AT\cdot BT\iff a^2=\dfrac{a\left(\sqrt{5}+1\right)}{2}\cdot\dfrac{a\left(\sqrt{5}+1\right)}{2}\iff \cdots\iff a^2=a^2$ που ισχύει.

Ας σημειωθεί ότι το $\color{blue}B$ χωρίζει το $\color{blue}AT$ σε μέσο και άκρο λόγο.

#3

Doloros έγραψε: Έστω τετράγωνο . Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου μέσα στο τετράγωνο .Η τέμνει το ημικύκλιο στο και η την στο .Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο .Να δειχθεί ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Νίκος

Ας δούμε το ισοδύναμο πρόβλημα (όπως αναφέρει και ο Κώστας πιο πάνω). Αν $S \equiv DT \cap AC$ να δειχθεί ότι $SB\parallel CT$ .

: 1.png (28.29 KiB) Προβλήθηκε 430 φορές

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle DAT\left( {\angle DAT = {{90}^0}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{AE \bot DT\left( {\angle DEA\,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\sigma \varepsilon \,\,\eta \mu \iota \kappa \upsilon \kappa \lambda \iota o} \right)}$ ${\left( {AD} \right)^2} = \left( {DE} \right) \cdot \left( {DT} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {AD} \right) = \left( {DC} \right) = a}$

${\left( {DC} \right)^2} = \left( {DE} \right) \cdot \left( {DT} \right) \Rightarrow DC$ εφαπτόμενη του περικυκλίου του $\vartriangle ECT \Rightarrow \boxed{\angle DCE = \angle CTE}:\left( 1 \right)$ και με $DC\parallel AT \Rightarrow \boxed{\angle EDC = \angle ETA}:\left( 2 \right)$ .

Από $\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \angle DCE + \angle EDC = \angle CTE + \angle ETA \Rightarrow$ $\boxed{\angle DCE + \angle EDC = \angle CTA}:\left( 3 \right)$

Είναι $\angle SBA\mathop = \limits^{\lambda o\gamma \omega \,\,\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \varsigma \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,\tau \eta \nu \,\,AC} \angle ADS\mathop = \limits^{\left( {KD} \right) = \left( {KE} \right) = \frac{{\left( {AD} \right)}}{2}}$ $\angle DEK\mathop = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle EDC} \angle DCE + \angle EDC\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)}$

$\angle SBA = \angle CTA\mathop \Rightarrow \limits^{\varepsilon \nu \tau o\varsigma \,\,\varepsilon \kappa \tau o\varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \pi \iota \,\,\tau \alpha \,\,\alpha \upsilon \tau \alpha } \boxed{SB\parallel CT}$ και το ισοδύναμο πρόβλημα έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Στη διαγώνιο

Στη διαγώνιο

Re: Στη διαγώνιο

Re: Στη διαγώνιο

Μέλη σε σύνδεση