Παραλληλόγραμμο και καθετότητα

#1

: Παραλληλόγραμμο και καθετότητα.png (23.56 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

Έστω το σημείο τομής δύο χορδών κύκλου $\left( O \right)$ και ας είναι $\left( K \right),\left( L \right)$ (κέντρων αντίστοιχα) οι περίκυκλοι

των τριγώνων $\vartriangle DAB,\vartriangle DA'B'$ αντίστοιχα. Αν είναι το δεύτερο (εκτός του ) κοινό σημείο των κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ να δειχθεί ότι:

i) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και ii) Είναι $OC \bot DC$ .

Στάθης

#2

i) H διάκεντρος

είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής

των $\left(O \right),\left(K \right).$
Για να δείξουμε ότι KO//DL,

αρκεί $DL\perp AB.$ Έστω

η τομή των AB, DL.

Είναι
$\widehat{XDA}=\widehat{A'DL}=\dfrac{180^o-\widehat{DLA'}}{2}=90^o-\widehat{DB'A}=90^o-\widehat{XAD}.$
Άρα $\widehat{AXD}=90^o.$

Ομοίως KD//OL.

ii) Ας είναι

το κέντρο του OKDL.

Τότε

αφού η

είναι μεσοκάθετος του DC.

Άρα
$CD=\dfrac{OD}{2}.$ Άρα $OC\perp CD.$

: KLO.png (25.59 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Το συνημμένο Παραλληλόγραμμο και καθετότητα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω το σημείο τομής δύο χορδών κύκλου $\left( O \right)$ και ας είναι $\left( K \right),\left( L \right)$ (κέντρων αντίστοιχα) οι περίκυκλοι

των τριγώνων $\vartriangle DAB,\vartriangle DA'B'$ αντίστοιχα. Αν είναι το δεύτερο (εκτός του ) κοινό σημείο των κύκλων $\left( K \right),\left( L \right)$ να δειχθεί ότι:

i) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και ii) Είναι $OC \bot DC$ .

Στάθης

Καλησπέρα Στάθη καλησπέρα Παύλο .

: Παραλληλόγραμμο και καθετότητα _ Κούτρας.png (48.38 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

Πρώτα -πρώτα το κοινό σημείο

των $AB,\,A'B'$ είναι το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων και θα περνά απ’ αυτό η

και το τετράπλευρο SACB'

θα είναι εγγράψιμο αφού διαδοχικά : $\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = \widehat {B'A'C}$ .

Τώρα $\widehat \omega = \widehat {{\omega _1}}$ (Η μισή επίκεντρη ισούται με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη ).

$\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}$ (Από το εγγράψιμο SACB'

)

$\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}}$ ( Κάθετες πλευρές αφού οι διάκεντροι είναι κάθετες στις κοινές χορδές )

Συνεπώς $\widehat \omega = \widehat {{\omega _3}} \Leftrightarrow DL//LO$ . Ομοίως DK//LO

και άρα το KOLD

είναι

παραλληλόγραμμο .

Για το δεύτερο ερώτημα:

$\widehat x = \widehat \phi$ ( απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου) και $\widehat y = \widehat \phi$ ( $\vartriangle KCL = \vartriangle KDL$ )

Άρα $\boxed{\widehat x = \widehat y}$ , μα τότε και το τετράπλευρο KCOL

είναι εγγράψιμο και μάλιστα

ισοσκελές τραπέζιο αφού KC = KD = LO

, έτσι όμως ο ριζικός άξονας

θα είναι

κάθετος και στην

.

Φιλικά Νίκος

#4

Καλημέρα σε όλους.

: 22,40234..png (29.76 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Αντιστρέφουμε το σχήμα με πόλο

και λόγο $\lambda=DA\cdot DA'$ .

Έχουμε $(L)\leftrightarrow AB,\quad (K)\leftrightarrow A'B'$
$DL\perp AB,\quad DK\perp A'B'$
αλλά $OL\perp A'B' ,\quad OK\perp AB$

Άρα OLDK

παραλληλόγραμμο.

$KL\perp DC$
Τα τρίγωνα $\vartriangle OCK,\vartriangle OCL$ είναι ίσα
επομένως $OC // KL\longrightarrow OC\perp DC$

Παραλληλόγραμμο και καθετότητα

Παραλληλόγραμμο και καθετότητα

Re: Παραλληλόγραμμο και καθετότητα

Re: Παραλληλόγραμμο και καθετότητα

Re: Παραλληλόγραμμο και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση