Κατασκευή και λόγος

#1

: Λόγος εμβαδών.png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Σε ισοσκελές οξυγώνιο τρίγωνο $ABC\,(AB = AC)$ , σημείο

κινείται στην πλευρά

. Η κάθετος στην

στο

τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Έστω και

το σημείο τομής των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST$ .
1. Να προσδιοριστεί ( γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του

πάνω στην

για την οποία AS = CT

. Στην συνέχεια σ αυτή την περίπτωση
2. Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{{{E_1}}}{{{E_2}}}$ των εμβαδών των τριγώνων $ASP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,PCT$ .

Νίκος

KARKAR · #2

Εδώ

Γιώργος Μήτσιος · #3

Γεια σας.

Νίκο και Θανάση , μια προσέγγιση για την Γεωμετρική κατασκευή
(πρώτο ζητούμενο του παρόντος θέματος) .

: Κατασκευή 11-11.PNG (10.71 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Δίνω τώρα μόνο το σχήμα ( ο ... χρόνος παραμένει δυσεύρετο ζητούμενο

) με την πρόθεση να επανέλθω .

Έστω κι' αργά επανέρχομαι
Φέρνω $CE\perp ST\Rightarrow \Delta PEC\approx PAS$ και $AM\perp BC\Rightarrow \Delta BAM\approx CET$ . Στην προέκταση της

παίρνω

.

Τότε έχουμε $\frac{PC}{PA}=\frac{CE}{SA}=\frac{CE}{CT}=\frac{BM}{BA}\Rightarrow \frac{PC}{PA}=\frac{BM}{BA}\Rightarrow \frac{PC}{CA}=\frac{BM}{AB+BM} \Rightarrow \frac{PC}{CA}=\frac{BN}{AN}$ που σημαίνει $BP\parallel CN$ .

Για την κατασκευή λοιπόν παίρνουμε BN=BC/2

, φέρνουμε την

και την $BP\parallel CN$ . Από το

φέρνουμε $PS\perp AB$ και το σημείο

της

είναι το ζητούμενο.

Για τον λόγο των εμβαδών βρήκαμε $\frac{PA}{PC}=\frac{2BA}{BC}$ ενώ (με κάλυψε ήδη ο Θανάσης με το Θ. Μενελάου) $\frac{PS}{PT}=\frac{BC}{BA}$ ...

Φιλικά Γιώργος.

S.E.Louridas · #4

Ας μου επιτραπεί από τον εισηγητή του θέματος να επιχειρηθεί μία γενίκευση για την πολύ όμορφη κατασκευή που ήδη κατέθεσε σε εμάς.

" Δίνεται τρίγωνο ABC

. Προσδιορίστε κατασκευαστικά (με Κανόνα και Διαβήτη) σημείο

στην προέκταση της πλευράς

και προς το μέρος του άκρου

ώστε αν θεωρήσουμε ευθεία διερχόμενη από το

που να τέμνει τις πλευρές AC, AB

στα σημεία P,S

αντίστοιχα να σχηματίζει με την πλευρά

γωνία $\angle TSA= \varphi$ και TC=SA

όπου $\varphi$ δεδομένη γωνία με την ιδιότητα $\angle B < \varphi < \angle B + \angle C.$ "

(*) Kατ' αρχάς δίνω σχηματικά την κατασκευή στηριγμένη στην ομοιοθεσία, ώστε να ασχοληθούν και άλλοι λύτες $(AS_1= {C_1}{T_1},\; {C_1}{T_1} \parallel BC)$ .

KARKAR · #5

: Κατασκευή και λόγος.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

Ας κάνουμε και λίγη υπολογιστική δουλειά . Έστω

η βάση ,

το κάθε σκέλος και s=AS=CT

.

Είναι : AT^2=AS^2+ST^2=AS^2+BT^2-BS^2=s^2+(a+s)^2-(b-s)^2

.

Επίσης : $\displaystyle AT^2=AD^2+DT^2=AC^2-DC^2+(DC+CT)^2=b^2-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}+as+s^2$

$\displaystyle=s^2+as+b^2$

Η εξίσωση των δύο οδηγεί στο : $\displaystyle (2b+a)s=2b^2-a^2\Leftrightarrow s=\frac{2b^2-a^2}{2b+a}$ .

KARKAR · #6

: Κατασκευή και λόγος.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές

Μιας και το πήγαμε υπολογιστικά ας δείξουμε και το δεύτερο :

Είναι : $\displaystyle b-s=\frac{a(a+b)}{2b+a}$ και $\displaystyle a+s=\frac{2b(a+b)}{2b+a}$ .

Τώρα με διπλή εφαρμογή θ. Μενελάου έχω : $\displaystyle \frac{s}{b-s}\cdot \frac{a+s}{s}\cdot \frac{PC}{PA}=1\Leftrightarrow \frac{PC}{PA}=\frac{a}{2b}$

και $\displaystyle\frac{s}{a}\cdot \frac{b}{s}\cdot \frac{PS}{PT}=1\Leftrightarrow \frac{PT}{PS}=\frac{b}{a}$

Τελικά : $\displaystyle\frac{(PCT)}{(PAS)}=\frac{PC\cdot PT}{PA\cdot PS}=\frac{a}{2b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{1}{2}$

#7

Εναλλακτικά, για την κατασκευή του σημείου

.

$\bullet$ Δια του σημείου

φέρνουμε την κάθετη ευθεία επί την

η οποία τέμνει την ευθεία

στο σημείο έστω

Στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ η διχοτόμος της γωνίας $\angle ABD$ , τέμνει την

στο σημείο έστω

και έστω

το σημείο μεταξύ των $B,\ D,$ ώστε να είναι $ET\parallel AC$ και αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι το ζητούμενο σημείο με την ιδιότητα όπως ορίζεται στην εκφώνηση.

Πράγματι, έστω

η προβολή του

επί την

και έστω το σημείο $P\equiv AC\cap ST.$

Ισχύει, $\displaystyle \frac{BA}{BD} = \frac{EA}{ED} = \frac{TC}{TD}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{BA}{BD} = \frac{TC}{TD}\ \ \ ,(1)$ ( από Θεώρημα Διχοτόμου και $ET\parallel AC$ ).

Από (1)

και $ST\parallel AD$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{TC}{BA} = \frac{TD}{BD} = \frac{SA}{BA}\ \ \ ,(2)$ $\Longrightarrow$ TC = SA

και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η απόδειξη ισχύει και για την γενίκευση που αναφέρει ο Σωτήρης πιο πάνω.

S.E.Louridas · #8

S.E.Louridas έγραψε:Ας μου επιτραπεί από τον εισηγητή του θέματος να επιχειρηθεί μία γενίκευση για την πολύ όμορφη κατασκευή που ήδη κατέθεσε σε εμάς.

" Δίνεται τρίγωνο . Προσδιορίστε κατασκευαστικά (με Κανόνα και Διαβήτη) σημείο στην προέκταση της πλευράς και προς το μέρος του άκρου ώστε αν θεωρήσουμε ευθεία διερχόμενη από το που να τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα να σχηματίζει με την πλευρά γωνία $\angle TSA= \varphi$ και όπου $\varphi$ δεδομένη γωνία με την ιδιότητα $\angle B < \varphi < \angle B + \angle C.$ "

1) Παραθέτουμε την κατασκευή και πέραν της σχηματικής της απόδοσης της γενικευμένης περίπτωσης (από την ημέτερη πρώτη επαφή με το όμορφο αυτό θέμα).

Θεωρούμε στην προέκταση της

τμήμα

.
Θεωρούμε επίσης και επί της

τμήμα

και σχηματίζουμε την γωνία $\angle P_1{S_1}A=\varphi$ . Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο $COT_1{C_1}$ όπου το σημείο T_1

είναι σημείο της ημιευθείας $S_1{P_1}$ .
Τελικά η τομή της ημιευθείας AT_1

με την ημιευθεία

προσδιορίζει το σημείο

.

2) Ας έρθουμε τώρα στο υπολογιστικό μέρος της γενικευμένης περίπτωσης που ανέφερα.

Από το θεώρημα του Μενελάου παίρνουμε:
$\displaystyle{\frac{{PC}} {{PA}} = \frac{{SB}} {{TB}} \Rightarrow \frac{{\left( {ASP} \right)}} {{\left( {PCT} \right)}} = \frac{{PP_3 }} {{PP_2 }} = \frac{{PA}} {{PC}} \cdot \frac{{\sin A}} {{\sin C}} = \frac{{TB}} {{SB}} \cdot \frac{{\sin A}} {{\sin C}} = \frac{{\left( {\sin \varphi } \right)\left( {\sin A} \right)}} {{\left( {\sin \left( {\varphi - B} \right)} \right)\left( {\sin C} \right)}}}$ .

(*) Προφανώς τα παραπάνω που αφορούν στο γενικότερο πρόβλημα που ανέφερα, λειτουργούν πλέον και την περίπτωση του αρχικού προταθέντος προβλήματος.

edit: Τοποθέτηση του quote.

thanasis.a · #9

Doloros έγραψε:
Το συνημμένο Λόγος εμβαδών.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ισοσκελές οξυγώνιο τρίγωνο $ABC\,(AB = AC)$ , σημείο κινείται στην πλευρά . Η κάθετος στην στο τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Έστω και το σημείο τομής των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST$ .
1. Να προσδιοριστεί ( γεωμετρική κατασκευή ) η θέση του πάνω στην για την οποία . Στην συνέχεια σ αυτή την περίπτωση
2. Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{{{E_1}}}{{{E_2}}}$ των εμβαδών των τριγώνων $ASP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,PCT$ .

Νίκος

: draw3.png (18.92 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

..καλησπέρα..

μια ακόμα (υπολογιστική) άποψη για τον προσδιορισμό πχ. του σημείου

για το ερώτημα 1.

έστω $\displaystyle AL\perp AB\Rightarrow AL\parallel ST\mathop\Rightarrow \limits^{\vartheta .\Theta \alpha \lambda \eta }\frac{AS}{TL}=\frac{SB}{BT}\Rightarrow \frac{x}{TL}=\frac{b-x}{a+x}\,\,\,(1)$

Επίσης $\displaystyle\bigtriangleup BAN\approx \bigtriangleup ABL\Rightarrow \frac{AB}{BL}=\frac{BN}{AB}\Rightarrow \frac{b}{BL}=\frac{\frac{a}{2}}{b}\,\,\,(2)$ και επειδή $BL=TL+a+x\,\,\,\,(3)$

Από (1),(2),(3) έχουμε: $\displaystyle x=\frac{2b^{2}-a^{2}}{2b+a}$

#10

Ευχαριστώ όλους σας για την ενασχόλησή σας με το θέμα.

Την άσκηση βρήκα στο πρώτο τεύχος ( Νοέμβριος 2004) του μαθηματικού περιοδικού «Το φ ». Χωρίς όμως να ζητείται η γεωμετρική κατασκευή.
Η γενίκευση του κ. Σωτήρη δίδει περισσότερη ομορφιά στην άσκηση .

Για την κατασκευή στην ειδική περίπτωση της εκφώνησης ας δούμε μια περίπου ίδια με του Γιώργου του Μήτσιου ( αμφιταλαντεύτηκα αν έπρεπε να την αναρτήσω γιατί φαίνεται να κλέβω τις σκέψεις του Γιώργου , αλλά και του Κώστα)

: κατασκευή και λόγος.png (30.16 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Με κέντρο το

και ακτίνα $R = \dfrac{{BC}}{2}$ , γράφουμε κύκλο ${K_1}$ που τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο

τέμνει τον φορέα του ύψους

του ισοσκελούς τριγώνου ABC

, στο σημείο

.
Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {AGI}$ ορίζει με την

το ζητούμενο σημείο

.

Φιλικά Νίκος

Κατασκευή και λόγος

Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Re: Κατασκευή και λόγος

Μέλη σε σύνδεση