Υψηλότατο

KARKAR · #1

: Υψηλότατο.png (9.9 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές

Από την κορυφή

του δισορθογωνίου τραπεζίου ABCD

φέρω $DS \perp BC$ .

Αν είναι (ABSD)=2(SCD)

, υπολογίστε το ύψος $\upsilon$ συναρτήσει της βάσης

.

#2

KARKAR έγραψε:
Υψηλότατο.png
Από την κορυφή του δισορθογωνίου τραπεζίου φέρω $DS \perp BC$ .

Αν είναι , υπολογίστε το ύψος $\upsilon$ συναρτήσει της βάσης .

Μόνο το αποτέλεσμα γιατί είμαι σε "εθνικό οίστρο" λόγω Εθνικής

$\boxed{\upsilon = \frac{{\sqrt {38} }}{2}\alpha }$

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Υψηλότατο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από την κορυφή του δισορθογωνίου τραπεζίου φέρω $DS \perp BC$ .Αν είναι , υπολογίστε το ύψος $\upsilon$ συναρτήσει της βάσης .

: 1.png (59.67 KiB) Προβλήθηκε 295 φορές

Έστω $\displaystyle{AK \bot DC\left( {K \in DC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {DK} \right) = a \hfill \\ \left( {KC} \right) = 2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\left( {BKC} \right) = \left( {ABKD} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2}}:\left( 1 \right)}$ και από

$\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\left( {DSC} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{3}}:\left( 2 \right)}$ . Από $\displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {DSC} \right)}}{{\left( {BKC} \right)}} = \frac{2}{3}}:\left( 3 \right)}$ .

Είναι $\displaystyle{\vartriangle DSC \sim \vartriangle BKC \Rightarrow \frac{{{{\left( {DC} \right)}^2}}}{{{{\left( {BC} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {DSC} \right)}}{{\left( {BKC} \right)}}\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} \frac{2}{3}\mathop \Rightarrow \limits^{{{\left( {BC} \right)}^2} = {\upsilon ^2} + 4{a^2}} }$ $\displaystyle{\frac{{9{a^2}}}{{{\upsilon ^2} + 4{a^2}}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \ldots \boxed{\upsilon = \frac{{a\sqrt {38} }}{2}}}$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Στάθης

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Υψηλότατο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από την κορυφή του δισορθογωνίου τραπεζίου φέρω $DS \perp BC$ .

Αν είναι , υπολογίστε το ύψος $\upsilon$ συναρτήσει της βάσης .

Καλησπέρα Θανάση και Στάθη.
Ας δούμε μια, περίπου, από τα ίδια με τη λύση του Φίλτατου Στάθη.

: Υψος Τραπεζίου.png (16.98 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές

Έστω ${\rm Z}$ η τέταρτη κορυφή του ορθογωνίου DABZ

. Θέτουμε

$(SAB) = {N_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(ZCB) = {N_3}$
Επειδή το εμβαδόν του τραπεζίου είναι $\dfrac{{3a + a}}{2}\upsilon = 2a\upsilon$ και του τριγώνου BCZ

είναι

$(BCZ) = {N_3} = \dfrac{1}{2}2a\upsilon = a\upsilon$ , δηλαδή το μισό του εμβαδού του τραπεζίου, θα είναι

$\boxed{\frac{{{{\rm N}_3}}}{{{{\rm N}_1}}} = \dfrac{3}{2}}\,\,(1)$ . Όμως τα ορθογώνια τρίγωνα $ZBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SAB$ είναι όμοια , γιατί έχουν

$\widehat \omega = \widehat \phi$ ( κάθετες πλευρές), με λόγο ομοιότητας $\lambda = \dfrac{{CB}}{{AB}} \Rightarrow \boxed{{\lambda ^2} = \dfrac{{4{a^2} + {\upsilon ^2}}}{{9{a^2}}}}\,\,(2)$ .

Λόγω των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχουμε :

$\dfrac{3}{2} = \dfrac{{4{a^2} + {\upsilon ^2}}}{{9{a^2}}} \Leftrightarrow 27{a^2} = 8{a^2} + 2{\upsilon ^2} \Leftrightarrow 38{a^2} = 4{\upsilon ^2}$ και άρα $\boxed{\upsilon = \dfrac{{\sqrt {38} }}{2}\alpha }$

Φιλικά Νίκος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Υψηλότατο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Από την κορυφή του δισορθογωνίου τραπεζίου φέρω $DS \perp BC$ .

Αν είναι , υπολογίστε το ύψος $\upsilon$ συναρτήσει της βάσης .

Είναι , $\displaystyle{\left( {ABCD} \right) = 2\alpha \upsilon ,\left( {DSC} \right) = \frac{{3\alpha x}}{2}}$
$\displaystyle{\left( {ABCD} \right) = 3\left( {SDC} \right) \Rightarrow 2\alpha \upsilon = 3\frac{{3\alpha x}}{2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{4}{9}\upsilon }}$ και $\displaystyle{SF = \frac{5}{9}\upsilon }$ ,άρα $\displaystyle{\frac{x}{{SF}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{{BF}}{{EC}} = \frac{4}{5}}$ .
Αν τώρα, $\displaystyle{DE = y}$ ,θα είναι, $\displaystyle{EC = 3\alpha - y,BF = y - a}$ κι έτσι $\displaystyle{\frac{{3\alpha - y}}{{y - \alpha }} = \frac{4}{5} \Rightarrow \boxed{y = \frac{{19}}{9}\alpha }}$
$\displaystyle{D{S^2} = DE \cdot DC = \frac{{19}}{9}\alpha \cdot 3\alpha \Rightarrow \boxed{DS = \frac{{\alpha \sqrt {57} }}{3}}}$ .Όμως από Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle BKC \Rightarrow \boxed{BC = \sqrt {4{\alpha ^2} + {\upsilon ^2}} }}$
Επειδή , $\displaystyle{\left( {ABCD} \right) = \left( {ABD} \right) + \left( {BDC} \right) \Rightarrow 2\alpha \upsilon = \frac{{\alpha \upsilon }}{2} + \left( {BDC} \right) \Rightarrow \left( {BDC} \right) = \frac{{3\alpha \upsilon }}{2}}$
$\displaystyle{\left( {BDC} \right) = \frac{{BC \cdot DS}}{2} \Rightarrow BC \cdot DS = 3\alpha \upsilon \Rightarrow \sqrt {4{\alpha ^2} + {\upsilon ^2}} \frac{{\alpha \sqrt {57} }}{3} = 3\alpha \upsilon \Rightarrow ....\boxed{\upsilon = \frac{{\alpha \sqrt {38} }}{2}}}$

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε:Από την κορυφή του δισορθογωνίου τραπεζίου φέρω $DS \perp BC$ .

Αν είναι , υπολογίστε το ύψος $\upsilon$ συναρτήσει της βάσης .

Καλημέρα σας.

: Υψηλότατο.png (18.19 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές

Αν $E \equiv DA \cap CB$ και $(ABSD) = 2(SCD) = 2x,\,(EAB) = y,\,(EA) = k$ , τότε από $\triangleleft EAB \sim \triangleleft EDC:$ $\dfrac{y}{{y + 3x}} = {\left( {\dfrac{a}{{3a}}} \right)^2} \Leftrightarrow y = \dfrac{{3x}}{8}$ και $\dfrac{k}{a} = \dfrac{{k + \upsilon }}{{3a}} \Leftrightarrow k = \dfrac{\upsilon }{2}$ .
Από $\triangleleft EDS \sim \triangleleft DCS:\,\dfrac{{y + 2x}}{x} = {\left( {\dfrac{{1,5\upsilon }}{{3a}}} \right)^2} \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \upsilon = \dfrac{{a\sqrt {38} }}{2}$ .

Υψηλότατο

Υψηλότατο

Re: Υψηλότατο

Re: Υψηλότατο

Re: Υψηλότατο

Re: Υψηλότατο

Re: Υψηλότατο

Μέλη σε σύνδεση