Λόγος Εμβαδών

#1

: Λόγος εμβαδών 1.png (10.95 KiB) Προβλήθηκε 452 φορές

Τα σημεία

βρίσκονται αντίστοιχα πάνω στις πλευρές BC,AC,AB

τριγώνου

ώστε:

$\displaystyle{\frac{{DB}}{{DC}} = k,\frac{{EC}}{{EA}} = m,\frac{{ZA}}{{ZB}} = n}$

Να βρεθεί ο λόγος $\displaystyle{\frac{{(DEZ)}}{{(ABC)}}}$ , συναρτήσει των k,m,n

.

#2

Είναι:

$\displaystyle{\frac{{\left( {DEZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{{\left( {ABC} \right) - \left( {AEZ} \right) - \left( {BDZ} \right) - \left( {CDE} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = 1 - \frac{{\left( {AEZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} - \frac{{\left( {BDZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} - \frac{{\left( {CDE} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = 1 - \frac{{AZ \cdot AE}}{{AB \cdot AC}} - \frac{{BD \cdot BZ}}{{BC \cdot BA}} - \frac{{CE \cdot CD}}{{CA \cdot CB}} = 1 - \frac{n}{{n + 1}} \cdot \frac{1}{{m + 1}} - \frac{k}{{k + 1}} \cdot \frac{1}{{n + 1}} - \frac{m}{{m + 1}} \cdot \frac{1}{{k + 1}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {m + 1} \right)\left( {k + 1} \right) - n\left( {k + 1} \right) - k\left( {m + 1} \right) - m\left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {m + 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} = \frac{{kmn + km + mn + nk + k + m + n + 1 - nk - n - km - k - mn - m}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {m + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = \boxed{\frac{{kmn + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {m + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}}}$ .

Σημείωση: Ο παραπάνω τύπος έχει πολλές εφαρμογές. Για παράδειγμα, αν οι ευθείες

,

και

συντρέχουν, τότε από το Θεώρημα του Ceva έχουμε ότι $\displaystyle{{kmn = 1},}$ οπότε

$\displaystyle{\frac{{\left( {DEZ} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {m + 1} \right)\left( {n + 1} \right)}}}$ .

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχουμε ότι

$\displaystyle{{\left( {k + 1} \right)\left( {m + 1} \right)\left( {n + 1} \right) \ge 8\sqrt {kmn} = 8,}}$

οπότε

$\displaystyle{{4\left( {DEZ} \right) \le \left( {ABC} \right)},}$

με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν τα σημεία

,

και

είναι τα μέσα των πλευρών

,

και

αντίστοιχα.

Ειδικότερα, αν τα σημεία

,

και

είναι τα ίχνη των εσωτερικών διχοτόμων του τριγώνου ABC

, τότε είναι $\displaystyle{k = \frac{c}{b},}$ $\displaystyle{m = \frac{a}{c}}$ και $\displaystyle{n = \frac{b}{a},}$ οπότε

$\displaystyle{\left( {DEZ} \right) = \frac{{2abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\left( {ABC} \right).}$

#3

Σ' ευχαριστώ Βαγγέλη για την ενασχόληση με το θέμα και κυρίως για την περαιτέρω διερεύνηση που
είναι πολύ ενδιαφέρουσα.

#4

Τον λόγο εμβαδών αυτών των τριγώνων και όχι μόνο, τον έχουμε ξαναδεί παλιότερα και Εδώ.

Κώστας Βήττας.

#5

vittasko έγραψε:Τον λόγο εμβαδών αυτών των τριγώνων και όχι μόνο, τον έχουμε ξαναδεί παλιότερα και Εδώ.

Κώστας Βήττας.

Καταπληκτική δουλειά Κώστα. Ένα μεγάλο ευχαριστώ στο Στάθη για τη σπουδαία εργασία του.

Λόγος Εμβαδών

Λόγος Εμβαδών

Re: Λόγος Εμβαδών

Re: Λόγος Εμβαδών

Re: Λόγος Εμβαδών

Re: Λόγος Εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση