Ίσα και μέγιστα

KARKAR · #1

: Ίσα και μέγιστα.png (6.79 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Σημείο

κινείται επί της διαγωνίου

, ορθογωνίου ABCD

. Οι ευθείες

και

τέμνουν τις πλευρές CD , BC

στα

αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : (SBQ)=(SDP)

. β) Για ποια θέση του

μεγιστοποιείται το (SBQ)

?

ealexiou · #2

α)

$\dfrac{CQ}{AD}= \dfrac{SC}{AS} \Rightarrow CQ= A D\times \dfrac{SC}{AS}$ , $(DCQ)=\dfrac{1}{2} CQ \times DC= \dfrac{1}{2} DC \times DA \times \dfrac{SC}{AS}$

$\dfrac{CP}{AB}= \dfrac{SC}{AS} \Rightarrow CP= A B\times \dfrac{SC}{AS}$ , $(PCB)=\dfrac{1}{2} CB \times CP= \dfrac{1}{2} CB \times A B\times \dfrac{SC}{AS}$

Επειδή $DC \times DA= CB \times AB => \dfrac{1}{2} DC \times DA \times \dfrac{SC}{AS}= \dfrac{1}{2}CB \times AB \times \dfrac{SC}{AS}$

$\Rightarrow (DCQ)=(PCB)$ , αντίστοιχα (PCS)=(SQC)

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ίσα και μέγιστα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται επί της διαγωνίου , ορθογωνίου . Οι ευθείες

και τέμνουν τις πλευρές στα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : . β) Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το ?

Καλημέρα σε όλους.

Μια λύση εκτός φακέλου για το (α)

: Ίσα και μέγιστα.png (10 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου. Από θεώρημα Ceva έχουμε:

$\displaystyle{\frac{{PC}}{{PD}} \cdot \frac{{DO}}{{OB}} \cdot \frac{{BQ}}{{QC}} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{OB = OD} \frac{{PC}}{{PD}} = \frac{{QC}}{{QB}} \Leftrightarrow PQ||BD}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{{PS}}{{SB}} = \frac{{SQ}}{{SD}} \Leftrightarrow \frac{{SB \cdot SQ}}{{PS \cdot SD}} = 1 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{(SBQ)}}{{(SDP)}} = 1}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ίσα και μέγιστα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται επί της διαγωνίου , ορθογωνίου . Οι ευθείες

και τέμνουν τις πλευρές στα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : .

Άλλη μια σκέψη για το α) ερώτημα:

: Ίσα-και-μέγιστα.png (39.09 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Ισχύει $\left( {SOD} \right) = \left( {SOB} \right)$ γιατί DO = OB

. Ακόμα $\triangleleft CPS \sim \triangleleft ABS\,\,\& \,\, \triangleleft CQS \sim \triangleleft ADS$ με $\left( {ABS} \right) = \left( {ADS} \right)$ , συνεπώς $\left( {CPS} \right) = \left( {CQS} \right)$ . Εφόσον $\left( {CDO} \right) = \left( {CBO} \right)$ έπεται ότι $\left( {SDP} \right) = \left( {SBQ} \right)$ .

#5

KARKAR έγραψε:
Ίσα και μέγιστα.png
Σημείο κινείται επί της διαγωνίου , ορθογωνίου . Οι ευθείες

και τέμνουν τις πλευρές στα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : . β) Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το ?

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ίσα και μέγιστα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται επί της διαγωνίου , ορθογωνίου . Οι ευθείες

και τέμνουν τις πλευρές στα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : . β) Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το ?

Καλησπέρα στους φίλους.

: Ισα και μέγιστα _1.png (23.89 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές

Η παραλληλία των $DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PQ$ χρησιμεύει και στο δεύτερο ερώτημα . Ας δούμε όμως και μια λύση εντός φακέλου .
Έστω

το κέντρο του ορθογωνίου ABCD

και

τα μέσα των DP,BQ

αντίστοιχα . Θα είναι $KM// = \dfrac{1}{2}BP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LM// = \dfrac{1}{2}DQ$ , οπότε $\dfrac{{CP}}{{PK}} = \dfrac{{CS}}{{SM}} = \dfrac{{CQ}}{{QL}} \Rightarrow \dfrac{{CP}}{{2PK}} = \dfrac{{CQ}}{{2QL}} \Rightarrow \dfrac{{CP}}{{PD}} = \dfrac{{CQ}}{{QB}}$ και άρα PQ//DB

. Εύκολα μετά έχουμε : ${N_1} = {N_2} \Leftrightarrow {N_1} + (SDB) = {N_2} + (SDB) \Leftrightarrow (PDB) = (QDB)$ . Που ισχύει .

Τώρα για το δεύτερο : Ας είναι

η τομή των AC,PQ

(προφανώς λόγω δέσμης PT = TQ

). Θέτουμε : $\boxed{AB = a,\,AD = b\,\,,\,CQ = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(TSQ) = {E_1}\,\,,\,\,(MSB) = {E_2}\,\,,\,\,(SQB) = E}$

: Ισα και μέγιστα_new_ok.png (20.73 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές

$\dfrac{{(PSQ)}}{{(SQB)}} = \dfrac{{PS}}{{SB}} \Rightarrow \dfrac{{2{E_1}}}{E} = \dfrac{{PS}}{{SB}}\,\,(1)$ και ομοίως $\dfrac{{2{E_2}}}{E} = \dfrac{{DS}}{{SQ}}\,\,(2)$ . Αλλά $\dfrac{{PS}}{{SB}} = \dfrac{{SQ}}{{SD}}$ από την ομοιότητα των τριγώνων $SPQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SBD$ . Αν λοιπόν πολλαπλασιάσουμε τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ κατά μέλη θα προκύψει $\boxed{{E^2} = 4{E_1} \cdot {E_2}\,}\,(3)$ Επίσης $\dfrac{{(PST)}}{{(BSM)}} = \dfrac{{P{T^2}}}{{M{B^2}}}$ γιατί τα αντίστοιχα τρίγωνα είναι όμοια . Έτσι θα έχουμε : $\dfrac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \dfrac{{T{Q^2}}}{{M{B^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow \boxed{{E_1} = \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}}{E_2}}$
που αν τεθεί στην (3)

θα προκύψει : $\boxed{\dfrac{E}{{{E_2}}} = \dfrac{{2x}}{b}}\,\,(4)$ .

Από την άλλη μεριά $\dfrac{{(PDB)}}{{(CDB)}} = \dfrac{{BQ}}{{BC}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{E + 2{E_2}}}{{\dfrac{1}{2}ab}} = \dfrac{{b - x}}{b}}\,\,\,(5)$ λόγω δε της (4)

θα προκύψει ( απαλείφουμε το ${E_2}$ ) η συνάρτηση : $\boxed{E(x) = \dfrac{{ax(b - x)}}{{2(b + x)}}}$ Από τη μελέτη της οποίας προκύπτει ότι έχουμε μέγιστη τιμή της

αν $\boxed{x = b(\sqrt 2 - 1)}$ .

Φιλικά Νίκος .

(Να δούμε και τον τελικό του ποδοσφαίρου !)

Μιχάλης .Χ.Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ίσα και μέγιστα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται επί της διαγωνίου , ορθογωνίου . Οι ευθείες

και τέμνουν τις πλευρές στα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : . β) Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το ?

1. $\displaystyle{PC//AB \Rightarrow \frac{{CP}}{{AB}} = \frac{{CS}}{{SA}} \Rightarrow \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{{CS}}{{CA}}(1)}$ , $\displaystyle{CQ//DA \Rightarrow \frac{{CQ}}{{DA}} = \frac{{CS}}{{SA}} \Rightarrow \frac{{CQ}}{{CB}} = \frac{{CS}}{{SA}}(2)}$ .

Από $\displaystyle{(1)}$ , $\displaystyle{(2)}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{{CQ}}{{CB}} \Rightarrow PQ//DB}$ $\displaystyle{ \Rightarrow PQBD}$ τραπέζιο ,άρα $\displaystyle{(PDS) = (SQB)}$

2.Έστω τώρα ότι το $\displaystyle{S}$ , απέχει απόσταση $\displaystyle{x}$ από το $\displaystyle{K}$ ( σχήμα) και $\displaystyle{AC = \delta }$ , $\displaystyle{\left( {ABCD} \right) = E}$ , $\displaystyle{\left( {DPS} \right) = \left( {SQB} \right) = \left( {DQ'S'} \right) = \left( {S'P'B} \right) = \Pi ,}$ , $\displaystyle{\left( {DSB} \right) = (DS'B) = y,\left( {PSQ} \right) = \left( {P'S'Q'} \right) = \omega }$
Ισχύει $\displaystyle{\frac{\Pi }{y} = \frac{{PS}}{{SB}},\frac{\Pi }{\omega } = \frac{{SB}}{{PS}} \Rightarrow {\Pi ^2} = y\omega }$ .Είναι, $\displaystyle{\frac{y}{{\frac{E}{2}}} = \frac{x}{{\frac{\delta }{2}}} \Rightarrow \boxed{y = \frac{E}{\delta } \cdot x}}$
$\displaystyle{\frac{\omega }{y} = \frac{{PS}}{{SB}} \cdot \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{SC}}{{SA}} \cdot \frac{{SC}}{{SA}} = {\left( {\frac{{SC}}{{SA}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\frac{\delta }{2} - x}}{{\frac{\delta }{2} + x}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\delta - 2x}}{{\delta + 2x}}} \right)^2} \Rightarrow \omega = {\left( {\frac{{\delta - 2x}}{{\delta + 2x}}} \right)^2} \cdot y}$
$\displaystyle{{\Pi ^2} = \omega \cdot y \Rightarrow {\Pi ^2} = {\left( {\frac{E}{\delta } \cdot x \cdot \frac{{\delta - 2x}}{{\delta + 2x}}} \right)^2} \Rightarrow \boxed{\Pi = \frac{E}{\delta } \cdot \frac{{\left( {\delta - 2x} \right)x}}{{\delta + 2x}}}}$
Η μέγιστη τιμή ,λαμβάνεται για το $\displaystyle{x}$ που η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{\left( {\delta - 2x} \right)x}}{{\delta + 2x}}{\text{ }}0 < x < \frac{\delta }{2}}$ παίρνει τη μέγιστη τιμή της,,που εύκολα βρίσκουμε ότι αυτό συμβαίνει για $\displaystyle{\boxed{x = \frac{{\delta \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{2}}}$

#8

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ίσα και μέγιστα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο κινείται επί της διαγωνίου , ορθογωνίου . Οι ευθείες

και τέμνουν τις πλευρές στα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : . β) Για ποια θέση του μεγιστοποιείται το ?

Μετά τις λύσεις που δόθηκαν καλό είναι να δούμε το θέμα αποστασιοποιημένο από το ορθογώνιο.
Στο ακόλουθο σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και τυχαίο σημείο $\displaystyle{S}$ στη διάμεσο αυτού την $\displaystyle{AO}$ .
Αν φέρουμε τις ημιευθείες $\displaystyle{BS}$ και $\displaystyle{CS}$ τότε θα προκύψουν στις πλευρές $\displaystyle{AB, AC}$ τα σημεία $\displaystyle{P,Q}$ αντίστοιχα.

: Σύγκριση εμβαδών - Μεγιστοποίηση 1.PNG (50.88 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

Τότε:
α) Τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{BSP, CSQ}$ είναι ίσα διότι:
Από το Θεώρημα του Ceva είναι:

$\displaystyle \frac{BO}{OC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AP}{PB}=1\Rightarrow \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\ \ (1)$

Η σχέση (1) δηλώνει ότι $\displaystyle{PQ//BC}$ και από το θεώρημα της δέσμης το σημείο $\displaystyle{T}$ θα είναι μέσο της $\displaystyle{PQ}$ .
Έτσι τα κόκκινα τρίγωνα $\displaystyle{BSP}$ και $\displaystyle{CSQ}$ εύκολα δείχνεται ότι είναι ίσεμβαδικά, διότι η διάμεσος ενός τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο
ισεμβαδικά τρίγωνα. (Εξάλλου αυτό δείχθηκε και στις προηγούμενες λύσεις που δόθηκαν)

β)Αναζητούμε τη θέση του σημείου $\displaystyle{S}$ επί της διαμέσου $\displaystyle{AO}$ ώστε το άθροισμα των εμβαδών $\displaystyle{(BSP)+(CSQ)=2(BSP)}$ να γίνει μέγιστο.
Για να συμβεί αυτό αρκεί το άθροισμα των εμβαδων των υπολοίπων σχημάτων που υπάρχουν στο $\displaystyle{(ABC)}$ να γίνει ελάχιστο.
Ζητούμε δηλαδή το σημείο $\displaystyle{S}$ επί της $\displaystyle{AO}$ ώστε:

$\displaystyle F=(BSC)+(APSQ)=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}(PQ)(h_a-x)=min\ \ (2)$

Στο ανωτέρω σχήμα βλέπουμε την αρμονική τετράδα $\displaystyle{(A,S,T,O)}$ από την οποία προκύπτει:
$\displaystyle \frac{ST}{SO}=\frac{AT}{AO}=m>0\ \ (3)$
Από την (3) προκύπτει:
$\displaystyle{(PQ)=m(BC)=ma,\ \ (4)}$
και η (2) παίρνει τη μορφή:
$\displaystyle F=(BSC)+(APSQ)=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}ma(h_a-x)\\ \Rightarrow F=\frac{1}{2}a[x+m(h_a-x)]=min\ \ (5)$

Από την (3) όμως προκύπτει ακόμα:
$\displaystyle{AT=m(AO)=m \mu_a\ \ (6)}$
και
$\displaystyle ST=m(SO)\Rightarrow ST+SO=m(SO)+(SO)\\\Rightarrow TO=(m+1)(SO) \ \ (7)$

Από τις (6) και (7) προκύπτει με πρόσθεση κατά μέλη ότι:

$\displaystyle{SO=\frac{(1-m)\mu_a}{1+m}\ \ (8)}$

Επειδή ακόμα είναι: $\displaystyle{\frac{x}{h_a}=\frac{SO}{OA}}$

από την (8) προκύπτει: $\displaystyle{x=\frac{1-m}{1+m})\ \ (9)}$

Η (5) σύμφωνα με την (9) γίνεται τελικά:

$\displaystyle{F(m)=\frac{1}{2}ah_a(\frac{2m^2-m+1}{m+1}),\ \ m>0 \ \ (10)}$

Η μελέτη αυτής της συνάρτησης οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για την τιμή:
$\displaystyle{m=\sqrt{2}-1}$
η $\displaystyle{F}$ παίρνει την ελάχιστη τιμή της και συνεπώς η τιμή αυτού του μερικού λόγου
δίνει και την περίπτωση της μεγιστοποίησης του εμβαδού του $\displaystyle{(BSP)}$ .

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #9

: Ίσα και μέγιστα.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

Αλλιώς το β) : Εύκολα από τις ομοιότητες διαπιστώνουμε τα εξής : $\displaystyle \frac{y}{x}=\frac{b}{a}\Leftrightarrow ay=bx$

$\displaystyle\frac{\ell}{a-x}=\frac{b-y}{y}\Leftrightarrow \ell=\frac{(a-x)(b-y)}{y}$ και $\displaystyle\frac{b-y}{m}=\frac{x}{a-x}\Leftrightarrow m=\frac{(a-x)(b-y)}{x}$ .

Αλλά τότε $\displaystyle E=\frac{1}{2}(y-m)(a-x)=....=\frac{b}{2}(3a-(2x+\frac{a^2}{x}))$ . Είναι πλέον φανερό ότι το

μεγιστοποιείται , όταν ελαχιστοποιηθεί το $\displaystyle 2x+\frac{a^2}{x}$ . Αλλά $\displaystyle 2x+\frac{a^2}{x}\geq 2\sqrt{2x\cdot\frac{a^2}{x}}=2a\sqrt{2}$ ,

με την ισότητα να επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle 2x=\frac{a^2}{x}$ , δηλαδή όταν $\displaystyle x=\frac{a}{\sqrt{2}}$

#10

Μία άλλη αντιμετώπιση για το δεύτερο σκέλος:
Έστω T, Z, K

οι προβολές του

στις

και του

στη

αντίστοιχα. Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε τη διαφορά QK-ST

των υψών των τριγώνων QDB, SDB

δηλαδή το μήκος

, η ισοδύναμα να μεγιστοποιήσουμε το y=SH

. Το τελευταίο, θα αποδείξουμε με τη βοήθεια ενός λήμματος, ότι συμβαίνει όταν OS=CH=x

καθώς η τετράδα (O,H,S,C)

είναι αρμονική, οπότε έχουμε:
$\displaystyle{\frac{OS}{SH}=\frac{OC}{CH}\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{2x+y}{x}\Leftrightarrow \frac{y}{x}=\sqrt{2}-1}$ .
Λήμμα:
Έστω (A,B,C,D)

αρμονική τετράδα με AC=BD

. Τότε για κάθε άλλη (A,B',C',D)

αρμονική τετράδα, ισχύει BC>B'C'

.
Απόδειξη:
Θεωρούμε την αρμονική δέσμη (MA,MB,BC,MD)

όπου

το μέσο του τόξου

. Αν

είναι ένα άλλο σημείο του τόξου, η αντίστοιχη δέσμη κέντρου

είναι όμοια της πρώτης. Από τα τρίγωνα SCC', TBB'

που έχουν μία γωνία ίση και μία παραπληρωματική, προκύπτει η αναλογία $\dfrac{SC'}{TB'}=\dfrac{CC'}{BB'}$ και καθώς εύκολα προκύπτει η ανισότητα SC'>TB'

, προκύπτει το ζητούμενο.

Ίσα και μέγιστα

Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Re: Ίσα και μέγιστα

Μέλη σε σύνδεση