Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

KARKAR · #1

: Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Η χορδή

είναι κάθετη στη διάμετρο

και το

σημείο της

.

Γράφω τον κύκλο διαμέτρου

, ο οποίος τέμνει την

στο

. Οι ευθείες

και

τέμνονται στο

. Δείξτε ότι SP=PT

και

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η χορδή είναι κάθετη στη διάμετρο και το σημείο της .

Γράφω τον κύκλο διαμέτρου , ο οποίος τέμνει την στο . Οι ευθείες

και τέμνονται στο . Δείξτε ότι και

Καλησπέρα....

$\displaystyle{\angle SPB = \angle SCB = {90^0} \Rightarrow SCBP}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle x = \angle y}$ .Ακόμη, $\displaystyle{\angle x = \angle \omega }$ ( αφού $\displaystyle{AM = MD}$ ).Επίσης, $\displaystyle{\angle BDT = \angle BPT = {90^0} \Rightarrow PBTD}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow \angle \omega = \angle \varphi }$ .
Άρα $\displaystyle{\boxed{\angle y = \angle \varphi }}$ .Έτσι το ύψος $\displaystyle{BP}$ του $\displaystyle{\vartriangle SBT}$ είναι και διάμεσος οπότε $\displaystyle{\boxed{SP = PT}}$
$\displaystyle{BT = SB \Rightarrow }$ οι περίκυκλοι των $\displaystyle{SCBP,BPDT}$ είναι ίσοι.Αλλά $\displaystyle{\angle \alpha = \angle \beta = \angle \gamma \Rightarrow \boxed{SC = TD}}$

#3

KARKAR έγραψε:Η χορδή είναι κάθετη στη διάμετρο και το σημείο της .Γράφω τον κύκλο διαμέτρου , ο οποίος τέμνει την στο . Οι ευθείες και τέμνονται στο . Δείξτε ότι και

Για την καλησπέρα στους φίλους απλά να πω ότι το σημείο είναι το σημείο Miquel του πλήρους τετραπλεύρου και με

$\angle SAB \equiv \angle BAC\mathop = \limits^{\alpha \pi o\,\,\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha } \angle BAT$ ισχύουν αυτά που γράφει ο Μιχάλης αμέσως πριν από τα τέσσερα εγγράψιμα τετράπλευρα.

Στάθης

#4

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η χορδή είναι κάθετη στη διάμετρο και το σημείο της .

Γράφω τον κύκλο διαμέτρου , ο οποίος τέμνει την στο . Οι ευθείες

και τέμνονται στο . Δείξτε ότι και

Καλησπέρα σε όλους.

Έστω

το σημείο τομής της

με το μικρό κύκλο.

Είναι $\displaystyle{P\widehat SB = P\widehat CB}$ ( εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του μικρού κύκλου)
$\displaystyle{D\widehat AB = D\widehat CB}$ (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του μεγάλου κύκλου)

Άρα $\displaystyle{T\widehat AB = T\widehat SB}$ , οπότε το τετράπλευρο ASBT

είναι εγγράψιμο, που σημαίνει ότι $\displaystyle{B\widehat AS = B\widehat TS}$ .

Αλλά $\displaystyle{T\widehat AB = B\widehat AC}$ (η

είναι μεσοκάθετος της

).
Άρα: $\displaystyle{T\widehat SB = B\widehat TS \Leftrightarrow BT = BS}$ κι επειδή

είναι το ύψος του τριγώνου BST

,

θα είναι $\boxed{SP=PT}$

Από τη σύγκριση των ορθογωνίων τριγώνων SCB, BDT

προκύπτει και η άλλη ισότητα $\boxed{SC=DT}$

: Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων.png (18.53 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

Επειδή όμως ο τίτλος λέει χωρίς σύγκριση τριγώνων υπάρχει και εναλλακτική λύση.
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι όλες οι ροζ γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους (οι τρεις είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του μικρού κύκλου και από τις υπόλοιπες $\displaystyle{S\widehat TA = S\widehat BA}$ από το εγγράψιμο ASBT

και $\displaystyle{A\widehat CM = M\widehat DA}$ ως διαφορά ίσων γωνιών).

Άρα το DTPM

είναι παραλληλόγραμμο, απ' όπου MP=DT

. Οπότε είναι και $\boxed{SC=MP=DT}$

#5

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η χορδή είναι κάθετη στη διάμετρο και το σημείο της .

Γράφω τον κύκλο διαμέτρου , ο οποίος τέμνει την στο . Οι ευθείες

και τέμνονται στο . Δείξτε ότι και

Χαίρετε. Μια απάντηση ακόμα στην ωραία αυτή άσκηση του Θανάση .

: Χωρίς σύγκριση τριγώνων.png (30.14 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

Ας πούμε

το , άλλο εκτός του

, σημείο τομής του κύκλου ${K_2}$ (διαμέτρου

) με την διάμετρο

του κύκλου ${K_1}$ . Προφανώς $SM \bot AB$ και άρα SM//CP

.

Προεκτείνουμε την

μέχρι να τμήσει την

, έστω στο σημείο

. Επειδή η διάμετρος

είναι και μεσοκάθετος στη χορδή

το τετράπλευρο ZSCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο ,

αλλά και το τετράπλευρο SMPC

είναι ισοσκελές τραπέζιο ως εγγεγραμμένο τραπέζιο στον κύκλο ${K_2}$ . Έτσι $\widehat C = \widehat \xi \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat C = \widehat \theta$ και άρα $\widehat \theta = \widehat \xi \Leftrightarrow MP//ZD$ .

Μετά απ’ αυτά : το μεν τετράπλευρο ZDPM

είναι παραλληλόγραμμο , τα δε τμήματα $SC = MP = ZD\,\,\,(1)$

και αφού το

μέσο του

θα είναι και το

μέσον του

και $MP// = \dfrac{{ZT}}{2} = \dfrac{{ZD + DT}}{2}$ .

Δηλαδή λόγω της (1)

:

. Και όλα τα ζητούμενα έχουν απαντηθεί.

Φιλικά Νίκος

Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

Re: Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

Re: Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

Re: Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

Re: Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

Μέλη σε σύνδεση