ΚΑΘΑΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Μια υπολογιστική άσκηση , χωρίς ίσως ιδιαίτερο ενδιαφέρον...
Προέκυψε ψάχνοντας για κάτι άλλο.

Δίνεται τρίγωνο ABC

και σημεία $A_{1},B_{1},C_{1}$ στις πλευρές του BC,CA,AB

αντίστοιχα τέτοια ώστε $\displaystyle \frac{BA_{1}}{BC}=\frac{CB_{1}}{CA}=\frac{AC_{1}}{AB}=\lambda$ , όπου $\lambda$ σταθερός αριθμός.

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{A_{1}^{2}B_{1}^{2}+B_{1}^{2}C_{1}^{2}+C_{1}^{2}A_{1}^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{\left(A_{1}B_{1}C_{1} \right)}{(ABC)}$

όπου a=BC,b=AC,c=AB.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Μια υπολογιστική άσκηση , χωρίς ίσως ιδιαίτερο ενδιαφέρον...
Προέκυψε ψάχνοντας για κάτι άλλο.

Δίνεται τρίγωνο και σημεία $A_{1},B_{1},C_{1}$ στις πλευρές του αντίστοιχα τέτοια ώστε $\displaystyle \frac{BA_{1}}{BC}=\frac{CB_{1}}{CA}=\frac{AC_{1}}{AB}=\lambda$ , όπου $\lambda$ σταθερός αριθμός.

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{A_{1}^{2}B_{1}^{2}+B_{1}^{2}C_{1}^{2}+C_{1}^{2}A_{1}^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{\left(A_{1}B_{1}C_{1} \right)}{(ABC)}$

όπου

Γεια σου Τηλέμαχε!

: Καθαρά υπολογιστική.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

Από νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα ABC, AB_1C_1

:
$\displaystyle{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}},{B_1}{C_1}^2 = {\lambda ^2}{c^2} + {(1 - \lambda )^2}{b^2} - 2bc\lambda (1 - \lambda )\cos A}$

Άρα: $\displaystyle{{B_1}{C_1}^2 = {\lambda ^2}{c^2} + {(1 - \lambda )^2}{b^2} - \lambda (1 - \lambda )\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}$

Με την ίδια διαδικασία κυκλικά και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
$\displaystyle{{A_1}{B_1}^2 + {B_1}{C_1}^2 + {C_1}{A_1}^2 = ({a^2} + {b^2} + {c^2})(3{\lambda ^2} - 3\lambda + 1)}$

Οπότε: $\boxed{\frac{{{A_1}{B_1}^2 + {B_1}{C_1}^2 + {C_1}{A_1}^2}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 3{\lambda ^2} - 3\lambda + 1}$

Ας δούμε τώρα τα εμβαδά. Τα τρίγωνα AB_1C_1, BA_1C_1, CA_1B_1

έχουν από μία γωνία ίση με το αρχικό τρίγωνο και είναι ισεμβαδικά με εμβαδόν $\displaystyle{\lambda (1 - \lambda )(ABC)}$ . Άρα:

$\displaystyle{({A_1}{B_1}{C_1}) = (ABC) - 3\lambda (1 - \lambda )(ABC) \Leftrightarrow \frac{{({A_1}{B_1}{C_1})}}{{(ABC)}} = 1 - 3\lambda (1 - \lambda ) \Leftrightarrow }$

$\boxed{\frac{{({A_1}{B_1}{C_1})}}{{(ABC)}} = 3{\lambda ^2} - 3\lambda + 1}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

ΚΑΘΑΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ...

ΚΑΘΑΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ...

Re: ΚΑΘΑΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ...

Μέλη σε σύνδεση