Διχοτόμος γωνίας!!

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Δίνεται τρίγωνο και έστω οι διχοτόμοι του. Αν να δείξετε ότι η διχοτόμος διχοτομεί τη γωνία

Στάθης

[KARKAR]

Μη χαίρεστε , δεν έχει λύση ! ( Ελπίζω να βοηθώ , και να είμαι και "νόμιμος"!)

Οι προεκτάσεις των τέμνουν την στα και τον περίκυκλο στα αντίστοιχα .

Το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με :

α) Τα τρίγωνα είναι όμοια

β) Τα τόξα είναι ίσα

γ) Είναι κ.λ.π.

[S.E.Louridas]

Ας κάνω και εγώ μία σκέψη, θεωρώντας σαν διχοτόμο μόνο την και απλά τις να τέμνονται στην έστω στο σημείο
Οι ευθείες έστω ότι τέμνονται στο σημείο και έστω επίσης ότι η τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα.
Από το πλήρες τετράπλευρο παίρνουμε ότι το είναι αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία με την να είναι διχοτόμος της γωνίας
οπότε
Αλλά από το ίδιο πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι, το είναι αρμονικό συζυγές του ως πρός τα σημεία με οπότε έχουμε το ζητούμενο.

Με κάθε επιφύλαξη αφού δεν χρειάστηκε να χρησιμοποιήσω παρά μόνο την μία διχοτόμο, δηλαδή την

S.E.Louridas

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Καλημέρα ΓΙΓΑΝΤΑ Σωτήρη

Θα σε παρακαλούσα να βγάλεις την λέξη "επιφύλαξη" γιατί πράγματι οι διευθύνσεις των διατηρούνται σταθερές ως προς το τρίγωνο για οποιεσδήποτε

Cevians ευθείες από σημείο της μιας διχοτόμου. Η γενίκευση που κάνεις είναι

Με εκτίμηση
Στάθης

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Μετά βέβαια τη θαυμάσια γενίκευση του φίλου και εξαίρετου Γεωμέτρη Σωτήρη, ας προσθέσω και εγώ άλλη μία λύση στο αρχικό όμως πρόβλημα.
Στηρίζεται σε δύο λήμματα τα οποία έχουμε συζητήσει και παλαιότερα νομίζω και αξίζει να τα δούν οι μαθητές (και να τα αποδείξουν).

Λήμμα 1
Αν είναι οι διχοτόμοι τριγώνου , τότε κάθε σημείο της περιμέτρου του έχει την ιδιότητα: η απόσταση του από την απέναντι πλευρά του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο πλευρές. Δηλαδή, η απόσταση ενός σημείου της από την , ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων του από τις .

Λήμμα 2
Αν οι αποστάσεις σημείων στο εσωτερικό τριγώνου από τις πλευρές αντίστοιχα, είναι αντιστρόφως ανάλογες, τότε οι είναι ισογώνιες προς τις πλευρές αυτές.

Απόδειξη άσκησης
Με βάση τα παραπάνω, το ισαπέχει από επομένως η απόσταση του από την είναι διπλάσια εκείνης από την . Όμοια, η απόσταση του από την είναι διπλάσια εκείνης από την . Επομένως οι αποστάσεις των από τις πλευρές είναι αντιστρόφως ανάλογες.

[vittasko]

Ας δούμε μία διασκευή της απόδειξης για το πρόβλημα που έχει τεθεί, που υπάρχει στη σελίδα 331 του βιβλίου, Χ. ΤΑΒΑΝΛΗ : Επίπεδος Γεωμετρία 1, θεωρώντας ως διχοτόμο μόνο την

Στο σχήμα του Θανάση (KARKAR) πιο πάνω, ας είναι , όπου τυχόν σημείο της διχοτόμου της γωνίας του δοσμένου τριγώνου

Από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε την Αρμονική σημειοσειρά και άρα η δέσμη είναι Αρμονική.

Ομοίως η δέσμη είναι Αρμονική ( λόγω της Αρμονικής σημειοσειράς στο πλήρες τετράπλευρο ).

Επειδή τα τρία ζεύγη των ομόλογων ακτίνων των ως άνω Αρμονικών δεσμών σχηματίζουν ίσες γωνίες, συμπεραίνεται ότι το ίδιο ισχύει και για το τέταρτο ζεύγος ομόλογων ακτίνων

Ισχύει δηλαδή και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[Μπάμπης Στεργίου]

Επειδή πρόκειται για εξαιρετικό θέμα(με μόνο τη μία διχοτόμο), να προσθέσω στις εξαίρετες λύσεις που προηγήθηκαν, την πληροφορία ότι μια επίσης εξαιρετική λύση

υπάρχει στο βιβλίο Γεωμετρικά Θέματα του Μανώλη Μαραγκάκη.

Έτυχε να ...πέσω πάνω της το καλοκαίρι που ξεφύλλιζα αυτό το υπέροχο βιβλίο !

Μπ.